Bank Soal Matematika SMP Operasi Himpunan

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Di sebuah kelas yang terdiri dari 25 siswa, diketahui terdapat 9 siswa menyukai soto, 12 siswa menyukai gado-gado, dan 8 siswa menyukai sate. Banyak siswa yang hanya menyukai sate sama dengan 2 kali banyak siswa yang menyukai ketiga jenis makanan tersebut. Banyak siswa yang menyukai gado-gado saja sama dengan 2 kali banyak siswa yang suka soto saja dan sama dengan 2 kali banyak siswa yang suka soto dan gado-gado tapi tidak suka sate. Terdapat 3 siswa yang menyukai gado-gado dan sate, 2 orang suka ketiga jenis makanan tersebut, dan 5 orang tidak suka ketiga jenis makanan sama sekali. Berapa banyak siswa yang suka soto tetapi tidak suka gado-gado?

A

3 siswa.

B

4 siswa.

C

5 siswa.

D

6 siswa.

Pembahasan:

Misalkan:

S = himpunan semesta

P = {siswa yang suka soto}

Q = {siswa yang suka gado-gado}

R = {siswa yang suka sate}

n(Q - P - R) = x

n((P $\cap$ R) - Q) = y

Diketahui:

n(S) = 25

n(P) = 9

n(Q) = 12

n(R) = 8

n(R - P - Q) = 2n(P $\cap$ Q $\cap$ R)

x = 2n(P - Q - R) = 2n((P $\cap$ Q) - R)

n(Q $\cap$ R) = 3

n(P $\cap$ Q $\cap$ R) = 2

n((P $\cup$ Q $\cup$ R)^c) = 5

Ditanya: n(P - Q)

Dijawab:

Untuk mencari n(P - Q), terlebih dahulu kita gambar diagram Venn supaya jelas. Lengkapi semua bagian diagram Venn dari yang sudah diketahui.

Dari yang diketahui bahwa n(R - P - Q) = 2n(P $\cap$ Q $\cap$ R) dan n(P $\cap$ Q $\cap$ R) = 2, maka diperoleh n(R - P - Q) = 2(2) = 4.

n(Q - P - R)= 2n(P - Q - R) $\Leftrightarrow$ n(P - Q - R) = $\frac{1}{2}$ n(Q - P - R) = $\frac{1}{2}$ x

n(Q - P - R) = 2n((P $\cap$ Q) - R) $\Leftrightarrow$ n((PQ)-R) = $\frac{1}{2}$ x

Dibentuk diagram Venn, diperoleh seperti berikut.

Dari diagram Venn diketahui, untuk mencari yang ditanya yaitu n(P - Q), kita mesti mencari x dan y terlebih dahulu. Untuk mencari x, bisa kita gunakan persamaan n(Q) karena semua bagian di Q dalam bentuk angka dan x (tidak ada y) jadi bisa dipecahkan.

Diperoleh

n(Q) = x + $\frac{1}{2}$ x + 2 + (3-2)