Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Rasio Trigonometri

Diketahui:

Tinggi bangunan $=60\ \text{m}$

Sudut elevasi titik $M=60\degree$

Sudut elevasi titik $N=30\degree$

Ditanya:

Jarak M dan N $=MN=?$

Jawab:

Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah horizontal dengan arah pandangan mata pengamat menghadap ke arah atas, sehingga persoalan di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Kita dapat menemukan panjang $MN$ dengan menemukan panjang $MO$ dan $ON$ terlebih dahulu.

Menemukan panjang $MO.$

Perhatikan segitiga $AMO.$

Kita dapat menemukan panjang $MO$ dengan menggunakan tangen sudut. Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut. Pada segitiga $AMO$, sisi depan sudut $M$ adalah $AO$, sedangkan sisi sampingnya adalah $MO$. Maka,

$\tan\theta=\frac{\text{De}}{\text{Sa}}$

$\Leftrightarrow\tan\angle M=\frac{AO}{MO}$

$\Leftrightarrow\tan60\degree=\frac{60}{MO}$

$\Leftrightarrow\sqrt{3}=\frac{60}{MO}$

$\Leftrightarrow MO=\frac{60}{\sqrt{3}}$

Rasionalkan.

$\Leftrightarrow MO=\frac{60}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow MO=\frac{60}{3}\times\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow MO=20\sqrt{3}\ \text{m}$

Menemukan panjang $ON.$

Perhatikan segitiga $AON.$

Kita dapat menemukan panjang $ON$ dengan menggunakan tangen sudut. Tangen sudut adalah perbandingan panjang sisi depan sudut terhadap panjang sisi samping sudut. Pada segitiga $AON$, sisi depan sudut $N$ adalah $AO$, sedangkan sisi sampingnya adalah $ON$. Maka,

$\tan\theta=\frac{\text{De}}{\text{Sa}}$

$\Leftrightarrow\tan\angle N=\frac{AO}{ON}$

$\Leftrightarrow\tan30\degree=\frac{60}{ON}$

$\Leftrightarrow\ \frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{60}{ON}$

$\Leftrightarrow ON=\frac{60\times3}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow ON=\frac{180}{\sqrt{3}}$

Rasionalkan.

$\Leftrightarrow ON=\frac{180}{\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow ON=\frac{180}{3}\times\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow ON=60\sqrt{3}\ \text{}$

Menemukan jarak $MN.$

Pada ilustrasi di atas, terlihat bahwa panjang $MN$ dapat ditemukan melalui penjumlahan antara $MO$ dan $ON.$ Dengan demikian,

$MN=MO+ON$

$=20\sqrt{3}+60\sqrt{3}$

$=80\sqrt{3}\ \text{m}$

Jadi, jarak titik $M$ dan $N$ adalah $80\sqrt{3}$ meter.