Bank Soal Matematika SMA Distribusi Variabel Acak

Diketahui:

Kelereng merah $=3$ butir

Kelereng biru $=2$ butir

Kelereng putih $=2$ butir

Banyak kelereng yang diambil $=2$ butir

$X$ adalah banyaknya kelereng biru yang terambil

$Y$ adalah banyaknya kelereng putih yang terambil

Ditanya:

$P\left(\left(x,y\right)\in D\right)$ untuk $D=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le1\right\}=?$

Dijawab:

Soal di atas merupakan kasus yang dapat diselesaikan dengan konsep distribusi probabilitas bersama.

Misalkan $X$ dan $Y$ dua peubah acak diskrit dengan nilai-nilai $X$ meliputi $x_1,x_2,...,x_k$ dan nilai-nilai $Y$ meliputi $y_1,y_2,...,y_k$ maka setiap pasangan terurut $\left(x_k,y_k\right)$ yang merupakan probabilitas bahwa $X$ mempunyai nilai $x_k$ dan $Y$ mempunyai nilai $y_k$ dengan $P\left(x,y\right)$ merupakan sebuah fungsi probabilitas bersama dari peubah acak $X$ dan $Y$ dinyatakan oleh:

$P\left(x,y\right)=P\left(\left(X=x\right)\cap\left(Y=y\right)\right)$

Berikut langkah-langkah mengerjakan soal tersebut.

Membuat daftar semua kemungkinan yang memenuhi

Diketahui $X$ adalah banyaknya kelereng biru yang terambil dan $Y$ adalah banyaknya kelereng putih yang terambil, maka semua kemungkinan $\left(x,y\right)$ pada pengambilan $2$ butir kelereng adalah:

$\left(0,0\right),\left(0,1\right),\left(0,2\right),\left(1,0\right),\left(1,1\right),\left(2,0\right)$

Membuat formulasi fungsi yang sesuai

Analisa semua kemungkinan yang ada untuk membentuk formulasi fungsi yang sesuai.

Perhatikan $P\left(0,0\right)$ yang artinya peluang terambilnya $0$ butir kelereng biru dan $0$ butir kelereng putih. Dengan kata lain terambil $2$ kelereng merah. Banyak kombinasi mengambil $0$ dari $2$ kelereng biru, $0$ dari $2$ kelereng putih, dan $2$ dari $3$ kelereng merah adalah $\left(_0^2\right)\left(_0^2\right)\left(_2^3\right)$ .

Banyak kombinasi mengambil $2$ dari $7$ butir kelereng yang tersedia adalah $\left(_2^7\right)$.

Ingat bahwa $\left(_r^n\right)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!\ \cdot\ r!}$

dengan $\ n\ge r$.

$n=$ unsur yang tersedia

$r=$ unsur yang diambil

Sehingga $P\left(0,0\right)=\frac{\left(_0^2\right)\left(_0^2\right)\left(_2^3\right)}{\left(_2^7\right)}=\frac{1}{7}$

Diperoleh formulasi fungsi yang sesuai yaitu:

$P\left(x,y\right)=\frac{\left(_x^2\right)\left(_y^2\right)\left(_{2-x-y}^3\right)}{\left(_2^7\right)}$ untuk $X=0,1,2$ dan $Y=0,1,2$

Membuat tabel distribusi probabilitas bersama

Dari formulasi fungsi yang telah didapatkan maka selanjutnya hitung nilai probabilitas bersama dan buat tabel distribusinya.

Mencari $P\left(\left(x,y\right)\in D\right)$ untuk $D=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le1\right\}$

Kemungkinan $\left(x,y\right)$ yang memenuhi $2x+y\le1$ adalah:

$D=\left\{\left(0,0\right),\left(0,1\right)\right\}$

Sehingga:

$P\left(\left(x,y\right)\in D\right)=P\left(0,0\right)+P\left(0,1\right)$

$=\frac{1}{7}+\frac{2}{7}$

$=\frac{3}{7}$

Jadi, $P\left(\left(x,y\right)\in D\right)$ untuk $D=\left\{\left(x,y\right)\mid2x+y\le1\right\}$ adalah $\frac{3}{7}$.