Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran

Diketahui:

lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+2x+6y-15=0$

titik $A\left(3,-1\right)$

Ditanya:

Jarak terjauh $=?$

Jawab:

Rumus umum jarak suatu titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Jarak suatu titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ dapat ditentukan melalui posisi titik tersebut.

1. Jika titik berada pada lingkaran maka

• Jarak $=0$

2. Jika titik berada di luar lingkaran maka

• Jarak terjauh $=\sqrt{\left(PA\right)^2-r^2}$
• Jarak terdekat $=PA-r$

3. Jika titik berada di dalam lingkaran maka

• Jarak terjauh $=PA+r$
• Jarak terdekat $=r-PA$

dengan $PA$ adalah jarak titik dengan pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari.

Posisi titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

Ada tiga jenis posisi titik $A\left(p,q\right)$ pada suatu lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

1. Titik berada pada lingkaran jika $K=0$
2. Titik berada di luar lingkaran jika $K>0$
3. Titik berada di dalam lingkaran jika $K<0$

dengan $K=p^2+q^2+Ap+Bq+C$

Sehingga, pertama cari tahu posisi titik $A\left(3,-1\right)$ pada lingkaran $x^2+y^2+2x+6y-15=0$

$K=3^2+\left(-1\right)^2+2\left(3\right)+6\left(-1\right)-15$

$K=9+1+6-6-15$

$K=-5$

$K<0$

maka titik berada di dalam lingkaran.

Selanjutnya, mencari jarak terjauh titik $A\left(3,-1\right)$ pada lingkaran $x^2+y^2+2x+6y-15=0$

Karena titik berada di dalam lingkaran maka menggunakan rumus $PA+r$

Sebelumnya, mencari titik pusat dan jari jari lingkaran dengan rumus

Pusat $=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)$

$r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Sehingga diperoleh,

Pusat $=\left(-\frac{1}{2}\left(2\right),-\frac{1}{2}\left(6\right)\right)$

$=\left(-1,-3\right)$

$r=\sqrt{\frac{1}{4}\left(2\right)^2+\frac{1}{4}\left(6\right)^2-\left(-15\right)}$

$=\sqrt{\frac{1}{4}\left(4\right)+\frac{1}{4}\left(36\right)+15}$

$=\sqrt{1+9+15}$

$=\sqrt{25}$

$=5$

Kemudian mencari nilai $PA$ yaitu jarak titik ke pusat lingkaran

$PA=\sqrt{\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(-1-\left(-3\right)\right)^2}$

$=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(2\right)^2}$

$=\sqrt{16+4}$

$=\sqrt{20}$

$=2\sqrt{5}$

$PA+r=2\sqrt{5}+5$

Jadi, jarak terjauh titik terhadap lingkaran adalah $2\sqrt{5}+5$