Bank Soal Matematika SMA Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran

Soal

Pilgan

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2+y2+2x+6y15=0x^2+y^2+2x+6y-15=0. Jarak terjauh titik A(3,1)A\left(3,-1\right) dengan lingkaran itu adalah ....

A

25+22\sqrt{5}+2

B

55+25\sqrt{5}+2

C

2552\sqrt{5}-5

D

25+52\sqrt{5}+5

E

5225\sqrt{2}-2

Pembahasan:

Diketahui:

lingkaran dengan persamaan x2+y2+2x+6y15=0x^2+y^2+2x+6y-15=0

titik A(3,1)A\left(3,-1\right)

Ditanya:

Jarak terjauh =?=?

Jawab:

Rumus umum jarak suatu titik A(p,q)A\left(p,q\right) pada suatu lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0

Jarak suatu titik A(p,q)A\left(p,q\right) pada suatu lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 dapat ditentukan melalui posisi titik tersebut.

  1. Jika titik berada pada lingkaran maka
  • Jarak =0=0

2. Jika titik berada di luar lingkaran maka

  • Jarak terjauh =(PA)2r2=\sqrt{\left(PA\right)^2-r^2}
  • Jarak terdekat =PAr=PA-r

3. Jika titik berada di dalam lingkaran maka

  • Jarak terjauh =PA+r=PA+r
  • Jarak terdekat =rPA=r-PA

dengan PAPA adalah jarak titik dengan pusat lingkaran dan rr adalah jari-jari.

Posisi titik A(p,q)A\left(p,q\right) pada suatu lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0

Ada tiga jenis posisi titik A(p,q)A\left(p,q\right) pada suatu lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0

  1. Titik berada pada lingkaran jika K=0K=0
  2. Titik berada di luar lingkaran jika K>0K>0
  3. Titik berada di dalam lingkaran jika K<0K<0

dengan K=p2+q2+Ap+Bq+CK=p^2+q^2+Ap+Bq+C

Sehingga, pertama cari tahu posisi titik A(3,1)A\left(3,-1\right) pada lingkaran x2+y2+2x+6y15=0x^2+y^2+2x+6y-15=0

K=32+(1)2+2(3)+6(1)15K=3^2+\left(-1\right)^2+2\left(3\right)+6\left(-1\right)-15

K=9+1+6615K=9+1+6-6-15

K=5K=-5

K<0K<0

maka titik berada di dalam lingkaran.

Selanjutnya, mencari jarak terjauh titik A(3,1)A\left(3,-1\right) pada lingkaran x2+y2+2x+6y15=0x^2+y^2+2x+6y-15=0

Karena titik berada di dalam lingkaran maka menggunakan rumus PA+rPA+r

Sebelumnya, mencari titik pusat dan jari jari lingkaran dengan rumus

Pusat =(12A,12B)=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)

r=14A2+14B2Cr=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}

Sehingga diperoleh,

Pusat =(12(2),12(6))=\left(-\frac{1}{2}\left(2\right),-\frac{1}{2}\left(6\right)\right)

=(1,3)=\left(-1,-3\right)

r=14(2)2+14(6)2(15)r=\sqrt{\frac{1}{4}\left(2\right)^2+\frac{1}{4}\left(6\right)^2-\left(-15\right)}

=14(4)+14(36)+15=\sqrt{\frac{1}{4}\left(4\right)+\frac{1}{4}\left(36\right)+15}

=1+9+15=\sqrt{1+9+15}

=25=\sqrt{25}

=5=5

Kemudian mencari nilai PAPA yaitu jarak titik ke pusat lingkaran

PA=(3(1))2+(1(3))2PA=\sqrt{\left(3-\left(-1\right)\right)^2+\left(-1-\left(-3\right)\right)^2}

=(4)2+(2)2=\sqrt{\left(4\right)^2+\left(2\right)^2}

=16+4=\sqrt{16+4}

=20=\sqrt{20}

=25=2\sqrt{5}

PA+r=25+5PA+r=2\sqrt{5}+5

Jadi, jarak terjauh titik terhadap lingkaran adalah 25+52\sqrt{5}+5

Video
07 November 2022
Kedudukan Titik dan Garis pada Lingkaran | Matematika Peminatan | Kelas XI
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal