Diketahui:

Gradien garis singgung kurva tersebut adalah $\frac{dy}{dx}=6x^2+4x-1$

Melalui titik $(-2,-5)\$

Ditanya:

Persamaan kurva $y=f\left(x\right)$

Dijawab:

$\frac{dy}{dx}=6x^2+4x-1$

$\Leftrightarrow dy=(6x^2+4x-1)dx$

$\Leftrightarrow\int dy=\int(6x^2+4x-1)dx$

$\Leftrightarrow y=\int(6x^2+4x-1)dx$

Integral tersebut terdiri dari beberapa integral yang dikurangkan dan dijumlahkan, maka kita uraikan terlebih dahulu dengan menggunakan aturan Integral Penjumlahan dan Pengurangan, yaitu:

$\int\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm\int g\left(x\right)dx$

Maka menjadi:

$y=\int(6x^2+4x-1)dx\$

$\Leftrightarrow y=\int6x^2dx+\int4xdx-\int1dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ dan $\int adx=ax+C$

Sehingga didapatkan:

$y=\int6x^2dx+\int4xdx-\int1dx$

$\Leftrightarrow y=\frac{6}{(2+1)}x^{(2+1)}+\frac{4}{(1+1)}x^{(1+1)}-x+C$

$\Leftrightarrow y=\frac{6}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2-x+C$

$\Leftrightarrow y=2x^3+2x^2-x+C$

Diketahui titik $\left(-2,-5\right)$ yang artinya $x=-2$ dan $y=-5$ terletak pada suatu kurva, maka akan diperoleh konstanta $C$ sebagai berikut:

$y=2x^3+2x^2-x+C$

$\Leftrightarrow-5=2(-2)^3+2(-2)^2-(-2)+C$

$\Leftrightarrow-5=2(-8)+2(4)+2+C$

$\Leftrightarrow-5=-16+8+2+C$

$\Leftrightarrow-5=-6+C$

$\Leftrightarrow-5+6=C$

$\Leftrightarrow C=1$

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah $y=2x^3+2x^2-x+1$