Bank Soal Matematika Wajib SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui fungsi $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$ dan $g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ dengan $a>0$ . Jika $\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}$ dan $h\left(x\right)=x-2$ , maka $\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=....$

A

$\frac{2-x}{x}$

B

$\frac{2+x}{x}-2$

C

$\frac{x+2}{x}$

D

$\frac{2-x}{x}+2$

E

$\frac{x}{2+x}$

Pembahasan:

Diketahui:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$

$g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ dengan $a>0$

$\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}$

$h\left(x\right)=x-2$

Ditanya:

$\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=?$

Jawab:

Berikut langkah-langkah menyelesaikan soal di atas.

Mencari nilai $a$

Diberikan dua fungsi $f$ dan $g$ , fungsi $f\circ g$ didefinisikan sebagai $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)$ .

Diketahui $\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}$ maka

$f\left(g\left(2\right)\right)=-\frac{9}{5}$

Diketahui $g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ maka

$g\left(2\right)=\frac{a}{2+1}$

$=\frac{a}{3}$

Dengan demikian

$f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$

Diketahui $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}$ dan $f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$ maka

$f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\left(\frac{a}{3}\right)^2-1}=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\frac{a^2}{9}-1}=-\frac{9}{5}$

$\frac{1}{\frac{a^2-9}{9}}=-\frac{9}{5}$

$\frac{9}{a^2-9}=-\frac{9}{5}$

Kalikan silang

$45=-9\left(a^2-9\right)$

$45=-9a^2+81$

$9a^2=36$

$a^2=4$

$a=\pm2$

Karena $a>0$ maka $a=2$

Mencari invers fungsi $g\left(x\right)$ atau $g^{-1}\left(x\right)$

Diketahui $g\left(x\right)=\frac{a}{x+1}$ dan diperoleh $a=2$ maka

$g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}$

$y=\frac{2}{x+1}$

$y\left(x+1\right)=2$

$xy+y=2$

$xy=2-y$

$x=\frac{2-y}{y}$

$g^{-1}\left(x\right)=\frac{2-x}{x}$

Mencari invers fungsi $h\left(x\right)$ atau $h^{-1}\left(x\right)$

Diketahui $h\left(x\right)=x-2$ maka

$h\left(x\right)=x-2$

$y=x-2$

$y+2=x$

$h^{-1}\left(x\right)=x+2$

Mencari $\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)$

Secara umum invers dari komposisi $\left(f\circ g\right)\left(x\right)$ memenuhi sifat

$\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right)$ .

Dengan demikian,

$\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)$

$h^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=g^{-1}\left(x\right)+2$

$=\frac{2-x}{x}+2$

$=\frac{2-x+2x}{x}$

$=\frac{x+2}{x}$

Jadi, $\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{x+2}{x}$ .

Video

31 Januari 2021

Operasi Komposisi pada Fungsi

✔ Ingin tanya tutor?

✔ Cek sampel tanya jawab

Rangkuman

27 April 2021

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Selengkapnya

Lihat Semua Rangkuman dan Materi

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

✔ Ingin soal latihan HOTS?

✔ Cek sampel soal HOTS?

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal