Bank Soal Matematika Wajib SMA Operasi Invers Komposisi Fungsi

Soal

Pilihan Ganda

Diketahui fungsi f(x)=1x21f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1} dan g(x)=ax+1g\left(x\right)=\frac{a}{x+1} dengan a>0a>0. Jika (fg)(2)=95\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5} dan h(x)=x2h\left(x\right)=x-2, maka (gh)1(x)=....\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=....

A

2xx\frac{2-x}{x}

B

2+xx2\frac{2+x}{x}-2

C

x+2x\frac{x+2}{x}

D

2xx+2\frac{2-x}{x}+2

E

x2+x\frac{x}{2+x}

Pembahasan:

Diketahui:

f(x)=1x21f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1}

g(x)=ax+1g\left(x\right)=\frac{a}{x+1} dengan a>0a>0

(fg)(2)=95\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5}

h(x)=x2h\left(x\right)=x-2

Ditanya:

(gh)1(x)=?\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=?

Jawab:

Berikut langkah-langkah menyelesaikan soal di atas.

Mencari nilai aa

Diberikan dua fungsi ff dan gg, fungsi fgf\circ g didefinisikan sebagai (fg)(x)=f(g(x))\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right).

Diketahui (fg)(2)=95\left(f\circ g\right)\left(2\right)=-\frac{9}{5} maka

f(g(2))=95f\left(g\left(2\right)\right)=-\frac{9}{5}

Diketahui g(x)=ax+1g\left(x\right)=\frac{a}{x+1} maka

g(2)=a2+1g\left(2\right)=\frac{a}{2+1}

=a3=\frac{a}{3}

Dengan demikian

f(a3)=95f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}

Diketahui f(x)=1x21f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-1} dan f(a3)=95f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5} maka

f(a3)=95f\left(\frac{a}{3}\right)=-\frac{9}{5}

1(a3)21=95\frac{1}{\left(\frac{a}{3}\right)^2-1}=-\frac{9}{5}

1a291=95\frac{1}{\frac{a^2}{9}-1}=-\frac{9}{5}

1a299=95\frac{1}{\frac{a^2-9}{9}}=-\frac{9}{5}

9a29=95\frac{9}{a^2-9}=-\frac{9}{5}

Kalikan silang

45=9(a29)45=-9\left(a^2-9\right)

45=9a2+8145=-9a^2+81

9a2=369a^2=36

a2=4a^2=4

a=±2a=\pm2

Karena a>0a>0 maka a=2a=2

Mencari invers fungsi g(x)g\left(x\right) atau g1(x)g^{-1}\left(x\right)

Diketahui g(x)=ax+1g\left(x\right)=\frac{a}{x+1} dan diperoleh a=2a=2 maka

g(x)=2x+1g\left(x\right)=\frac{2}{x+1}

y=2x+1y=\frac{2}{x+1}

y(x+1)=2y\left(x+1\right)=2

xy+y=2xy+y=2

xy=2yxy=2-y

x=2yyx=\frac{2-y}{y}

g1(x)=2xxg^{-1}\left(x\right)=\frac{2-x}{x}

Mencari invers fungsi h(x)h\left(x\right) atau h1(x)h^{-1}\left(x\right)

Diketahui h(x)=x2h\left(x\right)=x-2 maka

h(x)=x2h\left(x\right)=x-2

y=x2y=x-2

y+2=xy+2=x

h1(x)=x+2h^{-1}\left(x\right)=x+2

Mencari (gh)1(x)\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)

Secara umum invers dari komposisi (fg)(x)\left(f\circ g\right)\left(x\right) memenuhi sifat

(fg)1(x)=(g1f1)(x)\left(f\circ g\right)^{-1}\left(x\right)=\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)\left(x\right).

Dengan demikian,

(gh)1(x)=(h1g1)(x)\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\left(h^{-1}\circ g^{-1}\right)\left(x\right)

h1(g1(x))=g1(x)+2h^{-1}\left(g^{-1}\left(x\right)\right)=g^{-1}\left(x\right)+2

=2xx+2=\frac{2-x}{x}+2

=2x+2xx=\frac{2-x+2x}{x}

=x+2x=\frac{x+2}{x}

Jadi, (gh)1(x)=x+2x\left(g\circ h\right)^{-1}\left(x\right)=\frac{x+2}{x}.

Video
31 Januari 2021
Operasi Komposisi pada Fungsi
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal