Bank Soal Matematika SMA Operasi Komposisi pada Fungsi

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=1-x$, $g\left(x\right)=1-x^2$, dan $h\left(x\right)=x+2$.

Ditanya:

Nilai dari $\left(g\circ h\circ f\right)\left(x+1\right)$ sama dengan?

Jawab:

Definisi komposisi tiga fungsi sebagai berikut:

Diberikan fungsi $f,\ g$, dan $h$. Komposisi fungsi $f,\ g,$ dan $h$ dinotasikan dengan $f\circ g\circ h$ didefinisikan sebagai

$\left(f\circ g\circ h\right)\left(x\right)=f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)$.

Dengan kata lain, fungsi $h$ dikerjakan terlebih dahulu, kemudian hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $g$, dan hasilnya digunakan untuk mengerjakan fungsi $f$.

Akan dicari nilai dari $\left(g\circ h\circ f\right)\left(x+1\right)$.

Berdasarkan definisi komposisi tiga fungsi diperoleh

$\left(g\circ h\circ f\right)\left(x+1\right)=g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)$.

Artinya terlebih dahulu akan dicari nilai dari $f\left(x+1\right)$, yaitu

$f\left(x+1\right)=1-\left(x+1\right)$

$\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=1-x-1$

$\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=1-1-x$

$\Leftrightarrow f\left(x+1\right)=-x$

Selanjutnya akan dicari nilai dari $h\left(f\left(x+1\right)\right)$. Berdasarkan hasil sebelumnya, didapat

$h\left(f\left(x+1\right)\right)=h\left(-x\right)$

$\Leftrightarrow h\left(f\left(x+1\right)\right)=-x+2$

Kemudian, akan dicari $g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)$, diperoleh

$g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=g\left(-x+2\right)$

$\Leftrightarrow g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=1-\left(-x+2\right)^2$

$\Leftrightarrow g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=1-\left(x^2-4x+4\right)$

$\Leftrightarrow g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=1-x^2+4x-4$

$\Leftrightarrow g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=-x^2+4x-4+1$

$\Leftrightarrow g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=-x^2+4x-3$

Jadi didapat

$g\left(h\left(f\left(x+1\right)\right)\right)=-x^2+4x-3$