Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Rasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^3-6x^2+6x+4}{x^2-4}>-1$

Ditanya:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Untuk mencari penyelesaian pertidaksamaan, langkah pertamanya yaitu memastikan ruas kanan pertidaksamaan tersebut adalah nol. Ruas kanan pertidaksamaan yang diberikan pada soal bukan nol, maka diubah menjadi

$\frac{x^3-6x^2+6x+4}{x^2-4}+1>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-6x^2+6x+4}{x^2-4}+\frac{x^2-4}{x^2-4}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-6x^2+6x+4+x^2-4}{x^2-4}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-6x^2+x^2+6x+4-4}{x^2-4}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-4}>0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat pada pemfaktoran: untuk sembarang bentuk kuadrat $x^2-a^2$ berlaku $x^2-a^2=\left(x-a\right)\left(x+a\right)$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^3-5x^2+6x}{x^2-4}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^3-5x^2+6x=0$, berdasarkan sifat distributif didapat

$\Leftrightarrow x\left(x^2-5x+6\right)=0$

untuk $x^2-5x+6=0$ nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-5$ dan $pq=6$ adalah $p=-2$ dan $q=-3$. Didapat

$x^2-5x+6=0$

$\Leftrightarrow\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

Sehingga untuk pembilang diperoleh

$x\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$

Artinya

$x=0$ atau

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ atau

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$

Untuk penyebut diperoleh

$x^2-4=0$ berdasarkan sifat pada pemfaktoran didapat

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$

Artinya

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ atau

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$

Berdasarkan harga nolnya pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{x\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}>0$

$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)}>0$ . . . (**)

Pertidaksamaan (**) merupakan pertidaksamaan rasional linear-kuadrat yang cara menyelesaikannya serupa dengan cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom.

Harga nol dari pertidaksamaan (**) adalah

$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)}=0$

Artinya batasnya adalah $x=0,\ x=3,$ dan $x=-2$

Diperhatikan tabel yang menunjukkan tanda nilai yang diperoleh pada batasan/interval yang ada.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut

Pertidaksamaan (**) memiliki tanda $>$ artinya yang diminta adalah hasil dengan tanda positif dan $x=0$serta $x=3$ bukan merupakan penyelesaian. Diperoleh

Jadi himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pada soal adalah { $x\in$ R $\mid-2<x<0\text{ atau }x>3$ }