Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Irasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Tentukan solusi dari pertidaksamaan $\sqrt{2-x}>x$ !

A

$0\le x<1$

B

$x<1$

C

$-2<x<1$

D

$x\le0$

E

$x\ge2$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{2-x}>x$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan ini juga dapat ditulis dalam bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}>\ g\left(x\right)$ . Jika bentuk umumnya seperti ini, ada dua solusi yang dapat digabungkan jadi satu nantinya.

Solusi 1 (*):

Irisan dari

Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
Kasus fungsi $g\left(x\right)\ge0$ (positif atau sama dengan nol) (II)
Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)>g\left(x\right)^2$ (III)

Solusi 2 (**):

Irisan dari

Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (IV)
Kasus fungsi $g\left(x\right)<0$ (negatif) (V)

Kedua ruas tidak perlu dikuadratkan lagi karena jika $g\left(x\right)<0$ , $\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)$ akan benar untuk seluruh nilai $x$ riil.

Solusi akhir:

Gabungan dari solusi 1 dan 2.

Pertidaksamaan yang diberikan oleh soal adalah

$\sqrt{2-x}>x$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=2-x$ dan $g\left(x\right)=x$ .

Sekarang, kita cari solusi untuk masing-masing kasus.

Solusi 1:

Kasus 1

$2-x\ge0$ ⇔ $x\le2$ ... (I)

Kasus 2

$x\ge0$ ... (II)

Kasus 3

$2-x>x^2$

⇔ $0>x^2+x-2$

⇔ $x^2+x-2<0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$ .

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

$x\le x_1$ atau $x\ge x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
$x_1\le x\le x_2$ , untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)