Diketahui:

Pertidaksamaan $\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$

Ditanya:

Nilai $x$ yang tidak memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) dapat diubah menjadi

$\left(x+9\right)\left(x-4\right)\ge\left(x-4\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2+5x-36\right)\ge\left(x-4\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2+5x-36\right)-\left(x-4\right)\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+5x-36-x+4\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+5x-x-36+4\ge0$

$\Leftrightarrow x^2+4x-32\ge0$ . . . (1)

Pertidaksamaan (1) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (1) adalah

$x^2+4x-32=0$ . . . (2)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=4$ dan $pq=-32$ adalah $p=8$ dan $q=-4$

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-4\right)=0$ . . . (3)

Artinya,

$x+8=0\Leftrightarrow x=-8$ atau

$x-4=0\Leftrightarrow x=4$

Untuk $x<-8$, diambil sebagai sampel $x=-9$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(-9+8\right)\left(-9-4\right)=\left(-1\right)\left(-13\right)=13>0$ (bernilai positif).

Untuk $-8<x<4$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(0+8\right)\left(0-4\right)=8.\left(-4\right)=-32<0$  (bernilai negatif).

Untuk $x>4$, diambil sebagai sampel $x=5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(5+8\right)\left(5-4\right)=13.1=13>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (1) memiliki tanda $\ge$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif.

Karena pertidaksamaan (1) memuat sama dengan, maka $x=-8$ dan $x=4$ memenuhi pertidaksamaan (1). Jadi nilai $x$ yang memenuhi adalah $x\le-8$ atau $x\ge4$

Diperhatikan bahwa $x=-4$ berada pada $-8\le-4\le4$

Artinya $x=-4$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).