Bank Soal Fisika SMA Analisis Kuantitatif Masalah Dinamika Partikel

Diketahui:

Gambar mobil bergerak di tikungan miring kasar.

Jari-jari tikungan $R$ = 125 m

Massa mobil $m$ = 2.000 kg

Koefisien gesek statis $\mu_s$ = 0,5

Kecepatan maksimum $v_{\text{maks}}$ = 50 m/s

Percepatan gravitasi $g$ = 10 m/s²

Ditanya:

Sudut kemiringan jalan tikungan $\theta=$?

Dijawab:

Suatu jalan tikungan memang didesain miring dan kasar untuk mengurangi resiko agar kendaran tidak tergelincir. Ketika mobil atau kendaraan bergerak pada jalan tikungan tersebut, gaya-gaya yang bekerja pada mobil diuraikan dala diagram bebas seperti berikut.

Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa dalam arah radial ke pusat lingkaran, terdapat komponen gaya normal dan komponen gaya gesek statis. Resultan kedua gaya yang mengarah pada pusat tikungan ini akan bertindak sebagai gaya sentripetal dan secara matematis dituliskan sebagai berikut.

$F_s=N\sin\theta\ +f_s\cos\theta$

Karena $f_s=\mu_sN$, maka persamaannya menjadi:

$F_s=N\sin\theta\ +\left(\mu_sN\right)\cos\theta$

$F_s=N\left(\sin\theta\ +\mu_s\cos\theta\right)$ .......... (1)

Selanjutnya, karena mobil tidak bergerak pada sumbu-Y, maka berlaku hukum I Newton dengan persamaan sebagai berikut.

$\Sigma F_y=0$

$N\cos\theta-w-f_s\sin\theta=0$

Karena $w=mg$, maka persamaannya menjadi:

$N\cos\theta-mg-f_s\sin\theta=0$

$mg=N\cos\theta-f_s\sin\theta$

$mg=N\cos\theta-\left(\mu_sN\right)\sin\theta$

$mg=N\left(\cos\theta-\mu_s\sin\theta\right)$ .......... (2)

Jika persamaan (1) dibagi dnegan persamaan (2), maka diperoleh persamaan berikut.

$\frac{F_s}{mg}=\frac{N\left(\sin\theta\ +\mu_s\cos\theta\right)}{N\left(\cos\theta-\mu_s\sin\theta\right)}$

Karena $F_s=\frac{mv^2}{R}$, maka persamaannya menjadi:

$\frac{\frac{mv^2}{R}}{mg}=\frac{N\left(\sin\theta\ +\mu_s\cos\theta\right)}{N\left(\cos\theta-\mu_s\sin\theta\right)}$

$\frac{v^2}{Rg}=\frac{\cos\theta\ \left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\mu_s\right)}{\cos\theta\left(1-\mu_s\ \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)}$

$\frac{v^2}{Rg}=\frac{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\mu_s}{1-\mu_s\ \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

Karena $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$, maka persamaannya menjadi:

$\frac{v^2}{Rg}=\frac{\tan\theta+\mu_s}{1-\mu_s\ \tan\theta}$

Sehingga,

$\frac{\left(50\right)^2}{\left(125\right)\left(10\right)}=\frac{\tan\theta+0,5}{1-\left(0,5\right)\tan\theta}$

$\frac{2.500}{1.250}=\frac{\tan\theta+0,5}{1-0,5\tan\theta}$

$2=\frac{\tan\theta+0,5}{1-0,5\tan\theta}$

$2\left(1-0,5\tan\theta\right)=\tan\theta+0,5$

$2-\tan\theta=\tan\theta+0,5$

$2\tan\theta=2-0,5$

$2\tan\theta=1,5$

$\tan\theta=\frac{1,5}{2}$

$\tan\theta=0,75$

$\theta=37^{\circ}$

Jadi, besar sudut kemiringan jalan tikungan tersebut adalah $37^{\circ}$.