Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $g\left(x\right)=8\sin x+15\cos x$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, nilai balik maksimum fungsi $g$ ?

Jawab:

Misalkan fungsi $f\left(x\right)$ kontinu dan diferensiabel dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertama $f'\left(x\right)$ dan turunan kedua $f''\left(x\right)$ ada pada interval $I$, serta $f'\left(c\right)=0$ dengan $f\left(c\right)$ nilai stasioner.

1. Jika $f''\left(c\right)<0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
2. Jika $f''\left(c\right)>0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
3. Jika $f''\left(c\right)=0$ maka $f\left(c\right)$ bukan nilai ekstrim maksimum fungsi $f$ dan titik $\left(c,\ f\left(c\right)\right)$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $g\left(x\right)=8\sin x+15\cos x$. Diperoleh

$g'\left(x\right)=8\cos x-15\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$g''\left(x\right)=-8\sin x-15\cos x$

Syarat nilai balik minimum adalah

$g'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow8\cos x-15\sin x=0$

$\Leftrightarrow8\cos x=15\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{8}{15}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow\frac{8}{15}=\tan x$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{8}{15}$ (positif) artinya $x$ berada di kuadran I atau III.

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{8}{15}$, dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh $\sin x=\frac{8}{17}$ dan $\cos x=\frac{15}{17}$ sehingga

$g''\left(x\right)=-8\sin x-15\cos x$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=-8(\frac{8}{17})-15(-\frac{15}{17})$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=-\frac{64}{17}-\frac{225}{17}$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=-\frac{289}{17}$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=-17$

Karena $g''\left(x\right)=-17<0$ maka $g\left(x\right)$ merupakan nilai balik maksimum, yaitu

$g\left(x\right)=8\sin x+15\cos x$

$\Leftrightarrow g\left(x\right)=8(\frac{8}{17})+15(\frac{15}{17})$

$\Leftrightarrow g\left(x\right)=\frac{64}{17}+\frac{225}{17}$

$\Leftrightarrow g\left(x\right)=\frac{289}{17}$

$\Leftrightarrow g\left(x\right)=17$

Untuk kuadran III diperoleh $\sin x=-\frac{8}{17}$ dan $\cos x=-\frac{15}{17}$ sehingga

$g''\left(x\right)=-8\sin x-15\cos x$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=-8\left(-\frac{8}{17}\right)-15\left(-\frac{15}{17}\right)$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=\frac{64}{17}+\frac{225}{17}$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=\frac{289}{17}$

$\Leftrightarrow g''\left(x\right)=17$

Karena $g''\left(x\right)=17>0$ maka $g\left(x\right)$ merupakan nilai balik minimum, Tidak perlu dicari sebab yang diminta soal adalah nilai balik maksimum. Jadi nilai balik maksimum fungsi $g$ adalah $17$