Bank Soal Matematika Wajib SMA Permutasi

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Banyaknya cara menentukan juara pertama, kedua, dan ketiga suatu babak final olimpiade matematika yang diikuti oleh 5 peserta adalah ....

A

B

256

C

D

E

Pembahasan:

Soal ini dapat diselesaikan menggunakan permutasi sebagian unsur yang berbeda. Permutasi $r$ objek yang diambil dari $n$ objek berbeda, dengan $r\ \le n$ adalah $P(n,r)$ yang didefinisikan sebagai

$P(n,r)=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$

Perhatikan bahwa dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap $n$ bilangan asli, didefinisikan

$n!\ =\ n\ \times n-1\ \times\ldots\ \times2\ \times1$

dan didefinisikan $0!\ =\ 1$ .

Perhatikan bahwa dalam menyusun juara pertama, kedua, dan ketiga tersebut urutan sangat diperhatikan. Misalkan A, B, C, D,E adalah kelima anak tersebut. Sebagai contoh:

Juara pertama: A,

Juara kedua: B,

Juara ketiga: C

berbeda dengan

Juara pertama: A,

Juara kedua: C,

Juara ketiga: B,

Kedua susunan tersebut dianggap berbeda karena urutannya diperhatikan. Oleh karena itu untuk menyelesaikan soal ini dapat digunakan permutasi 5 unsur yang diambil 3 unsur.

Banyaknya cara menentukan juara pertama, kedua, dan ketiga adalah

$P\left(5,3\right)=\ \frac{5!}{\left(5-3\right)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times4\times3\ \times2!}{2!}=5\times4\times3\ =\ 60$