Bank Soal Matematika Wajib SMA Induksi Matematika pada Ketidaksamaan

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Untuk setiap bilangan asli $n\geq 4$ berlaku $P\left(n\right)\ :\ 3n< 2^n$ . Jika $P\left(n\right)$ dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika, maka langkah induksi pembuktian tersebut adalah ....

A

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(k)$ benar, maka $P(k+1)$ benar

B

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(n)$ benar, maka $P(k+1)$ benar

C

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(n)$ benar, maka $P(k)$ benar

D

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(1)$ benar, maka $P(k)$ benar

E

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(1)$ benar, maka $P(k+1)$ benar

Pembahasan:

Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$ , dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$ .
Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$ , kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ .

Pernyataan pada langkah induksi dapat ditulis menjadi:

akan dibuktikan bahwa jika dimisalkan $P(n)$ benar untuk $n=k$ atau $P\left(k\right)$ bernilai benar, maka $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$ atau $P\left(k+1\right)$ bernilai benar.