Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}>0$ . . . (*)

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan rasional polinom. Perlu diingat pertidaksamaan rasional polinom memiliki bentuk umum sebagai berikut:

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge n,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<n,$ dan $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>n$

dengan $f\left(x\right)$ dan atau $g\left(x\right)$ berbentuk polinom berderajat dua atau lebih.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional polinom adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Selain itu perlu diingat beberapa sifat berikut

sifat distributif: untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

sifat perkalian dan pembagian: untuk sembarang bilangan positif dan negatif, berlaku

positif $\times$ positif = positif

positif $\times$ negatif = negatif

negatif $\times$ positif = negatif

negatif $\times$ negatif = positif

Hal tersebut juga berlaku jika operasi $\times$ diganti dengan operasi pembagian.

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*). Diperoleh

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=0$

Untuk pembilang diperoleh

$x^2+x-2=0$

$\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0$

Artinya

$x+2=0\Leftrightarrow x=-2$ atau

$x-1=0\Leftrightarrow x=1$

Untuk penyebut diperoleh

$x^2-x-2=0$

$\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$

Artinya

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ atau

$x+1=0\Leftrightarrow x=-1$

Berdasarkan harga nol pertidaksamaan (*) diperoleh beberapa nilai pembuat nol dengan urutan berikut

$-2<-1<1<2$

dan pertidaksamaan (*) dapat dinyatakan dengan

$\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}>0$

Tanda pertidaksamaan (*) adalah $>$ artinya penyelesaiannya adalah semua nilai $x$ yang menyebabkan ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai positif dan semua pembuat nolnya bukan merupakan penyelesaian (sebab tidak memuat sama dengan). Diperhatikan beberapa kemungkinan berikut

Kemungkinan pertama, untuk $x<-2$, maka $x+2$ selalu negatif, $x-1$ selalu negatif, $x-2$ selalu negatif, dan $x+1$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan kedua, untuk $-2<x<-1$, maka $x+2$ selalu positif, $x-1$ selalu negatif, $x-2$ selalu negatif, dan $x+1$ selalu negatif. Didapat

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan ketiga, untuk $-1<x<1$, maka $x+2$ selalu positif, $x-1$ selalu negatif, $x-2$ selalu negatif, dan $x+1$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{negatif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\left(\text{positif}\right)$

Kemungkinan keempat, untuk $1<x<2$, maka $x+2$ selalu positif, $x-1$ selalu positif, $x-2$ selalu negatif, dan $x+1$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{negatif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\left(\text{negatif}\right)$

Kemungkinan kelima, untuk $x>2$, maka $x+2$ selalu positif, $x-1$ selalu positif, $x-2$ selalu positif, dan $x+1$ selalu positif. Didapat

$\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\frac{\left(\text{positif}\right)}{\left(\text{positif}\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{x^2-x-2}=\left(\text{positif}\right)$

Diperoleh ruas kiri pertidaksamaan (*) bernilai positif ketika $x<-2$ atau $-1<x<1$ atau $x>2$. Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan adalah

$x<-2$ atau $-1<x<1$ atau $x>2$