Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Pertidaksamaan: $y\ge x^2+3x-10$

Ditanya:

Bagaimana daerah penyelesaiannya?

Dijawab:

Jika koefisien dari $x^2$ bernilai positif, maka kurva terbuka ke atas.

Jika koefisien dari $x^2$ bernilai negatif, maka kurva terbuka ke bawah.

Karena koefisien dari $x^2$ adalah (+), maka kurva tersebut terbuka ke atas.

Kurva putus-putus jika tanda pertidaksamaan adalah $>$ atau $<$.

Kurva menyambung jika tanda pertidaksamaan adalah $\ge$ atau$\le$.

=============================================

Bawa pertidaksamaan tersebut ke dalam bentuk persamaan untuk menggambar kurvanya.

Sehingga menghasilkan persamaan $y=x^2+3x-10$

Untuk menentukan daerah penyelesaiannya, kita harus menggambar dahulu kurva tersebut.

Untuk menggambar kurva ada beberapa hal yang harus kita cari:

Titik potong sumbu x:

Kurva akan memotong sumbu x ketika nilai $y=0$

$x^2+3x-10=0$

$\left(x+5\right)\left(x-2\right)=0$

$x=-5,\ x=2$

Titik potong terhadap sumbu x nya adalah $\left(-5,0\right)$ dan $\left(2,0\right)$.

Titik potong sumbu y:

Kurva akan memotong sumbu y ketika $x=0$

$y=x^2+3x-10$

$y=0^2+3\left(0\right)-10$

$y=-10$

Titik potong terhadap sumbu y adalah $\left(0,-10\right)$

Titik puncak

Pada $y=x^2+3x-10$ , $a=1,\ b=3,\ c=-10$

x puncak: $-\frac{b}{2a}$

x puncak: $-\frac{3}{2.1}$

x puncak: $-\frac{3}{2}$

Untuk mencari y puncak, masukkan nilai x yang sudah ditemukan ke dalam persamaan:

$y=x^2+3x-10$

$y=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+3\left(-\frac{3}{2}\right)-10$

$y=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-10$

$y=\frac{9}{4}-\frac{18}{4}-\frac{40}{4}$

$y=-\frac{49}{4}$

Titik puncaknya adalah $\left(-\frac{3}{2},\ -\frac{49}{4}\right)$

Selanjutnya gambar kurva tersebut:

Kurva tidak putus-putus karena tanda pertidaksamaannya adalah $\ge$.

Selanjutnya dapat dicari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan.

Daerah Penyelesaian:

Untuk mencari daerah penyelesaian, dapat mengambil 1 titik di luar kurva dan 1 titik di dalam kurva untuk menguji daerah penyelesaian yang tepat.

Titik dalam kurva $\left(0,0\right)$

Subtitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan:

$x^2+3x-10=0^2+3\left(0\right)-10=0+0-10=-10$

$y=0$

Karena $x^2+3x-10=-10$ dan $y=0$, maka $y>x^2+3x-10$

Titik luar kurva $\left(4,0\right)\$

$x^2+3x-10=4^2+3\left(4\right)-10=16+12-10=18$

$y=0$

Karena $x^2+3x-10=18$ dan $y=0$, maka $y<x^2+3x-10$

Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah di dalam kurva: