Bank Soal Matematika SMA Kuadran dalam Rasio Trigonometri

Diketahui:

$90\degree\le\theta\le180\degree$

$\sin\theta=\frac{5}{6}$

Ditanya:

$\cos\theta+\tan\theta=?$

Jawab:

Langkah-langkah menyelesaikan persoalan di atas adalah sebagai berikut.

Ilustrasikan segitiga pada kuadran yang bersesuaian

Misalkan $x=$ panjang sisi samping, $y=$ panjang sisi depan, dan $r=$ panjang sisi miring dan sudut berada pada kuadran II, maka berikut ilustrasi yang sesuai.

Karena sinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan dengan sisi miring maka

$\sin\theta=\frac{\text{De}}{\text{Mi}}\$

$\sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{\left(+\right)}{\left(+\right)}=\left(+\right)$

sehingga $\sin\theta$ bernilai positif

Sedangkan cosinus sudut adalah perbandingan antara panjang sisi samping dengan sisi miring, maka

$\cos\theta=\frac{\text{Sa }}{\text{Mi}}\ \$

$\cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{\left(-\right)}{\left(+\right)}=\left(-\right)$

sehingga $\cos\theta$ bernilai negatif

Karena tangen sudut adalah perbandingan antara panjang sisi depan dengan sisi samping, maka

$\tan\theta=\frac{\text{De}}{\text{Sa}}\ \ \$

$\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{\left(+\right)}{\left(-\right)}=\left(-\right)$

sehingga $\tan\theta$ bernilai negatif

Mencari nilai sisi yang belum diketahui

$\sin\theta=\frac{5}{6}$

$\frac{y}{r}=\frac{5}{6}$

maka $y=5$ dan $r=6$

Sisi samping dapat dicari dengan teorema Pythagoras yaitu

$x=\sqrt{r^2-y^2}$

$=\sqrt{6^2-5^2}$

$=\sqrt{36-25}$

$=\sqrt{11}$

Mencari nilai $\cos\theta$

Karena $\cos\theta$ bernilai negatif dan $\cos\theta=\frac{x}{r}$, maka

$\cos\theta=-\frac{\sqrt{11}}{6}$

Mencari nilai $\tan\theta$

Karena $\tan\theta$ bernilai negatif dan $\tan\theta=\frac{y}{x}$, maka

$\tan\theta=-\frac{5}{\sqrt{11}}=-\frac{5}{11}\sqrt{11}$

Sehingga diperoleh

$\cos\theta+\tan\theta=-\frac{\sqrt{11}}{6}-\frac{5}{11}\sqrt{11}$

$=\frac{-11\sqrt{11}-30\sqrt{11}}{66}$

$=-\frac{41\sqrt{11}}{66}$