Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x-8}{3x+6}>2$

Ditanya:

Solusi dari pertidaksamaan tersebut?

Jawab:

Pertidaksamaan pada soal merupakan pertidaksamaan rasional linear. Perlu diingat pertidaksamaan rasional linear mempunyai bentuk umum

$\frac{ax+b}{cx+d}<n,\ \frac{ax+b}{cx+d}\le n,\ \frac{ax+b}{cx+d}>,$ atau $\frac{ax+b}{cx+d}\ge n$

dengan $a,\ b,\ c,\ d,\text{ dan }n$ merupakan bilangan.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan rasional linear adalah dengan

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian mencari nilai nol untuk pembilang maupun penyebut. Perlu diingat bahwa penyebut tidak boleh sama dengan nol.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\frac{x-8}{3x+6}>2$

Pertidaksamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai

$\frac{x-8}{3x+6}>2$

$\Leftrightarrow\frac{x-8}{3x+6}-2>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-8}{3x+6}-\frac{2\left(3x+6\right)}{3x+6}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-8}{3x+6}-\frac{6x+12}{3x+6}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-8-6x-12}{3x+6}>0$

$\Leftrightarrow\frac{x-6x-8-12}{3x+6}>0$

$\Leftrightarrow\frac{-5x-20}{3x+6}>0$ . . . (*)

Akan dicari harga nol dari pertidaksamaan (*), didapat

$\frac{-5x-20}{3x+6}=0$ . . . (**)

Untuk pembilang diperoleh

$-5x-20=0$

$\Leftrightarrow-20=5x$

$\Leftrightarrow\frac{-20}{5}=x$

$\Leftrightarrow-4=x$

Untuk penyebut diperoleh

$3x+6=0$

$\Leftrightarrow3x=-6$

$\Leftrightarrow x=\frac{-6}{3}$

$\Leftrightarrow x=-2$

Karena $x=-2$ diperoleh dari penyebut dan penyebut tidak boleh sama dengan nol, maka $x=-2$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*).

Untuk $x<-4$, diambil sebagai sampel $x=-5$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-5\left(-5\right)-20}{3\left(-5\right)+6}=\frac{25-20}{-15+6}=\frac{5}{-9}=-\frac{5}{9}<0$ (bernilai negatif).

Untuk $-4<x<-2$, diambil sebagai sampel $x=-3$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-5\left(-3\right)-20}{3\left(-3\right)+6}=\frac{15-20}{-9+6}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}>0$ (bernilai positif).

Untuk $x>-2$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (**) diperoleh

$\frac{-5\left(0\right)-20}{3\left(0\right)+6}=\frac{-20}{6}=\frac{-10}{3}=-\frac{10}{3}<0$ (bernilai negatif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $>$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai positif

Karena pertidaksamaan (*) tidak memuat sama dengan, maka $x=-4$ tidak memenuhi pertidaksamaan (*). Jadi solusi dari pertidaksamaan yang diberikan adalah $-4<x<-2$