Bank Soal Matematika SMA Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Persoalan di atas dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi dan sifat pangkat pada bilangan serta logaritma.

Perhatikan persamaan 2

$4^{\frac{x}{y}}=5$

Pangkatkan kedua ruas dengan $y$

$4^x=5^y$

Perhatikan persamaan 3

$4^x+5^y=6$

Karena $4^x=5^y$ maka

$4^x+4^x=6$

$2\left(4^x\right)=6$

$4^x=3$

Ingat kembali jika $a^b=c$ maka $^a\log c=b$

$x=^4\log3$

Perhatikan kembali persamaan 2

$4^x=5^y$

Karena $x=^4\log3$ maka

$4^{^4\log3}=5^y$

Ingat kembali bahwa $a^{^a\log b}=b$

$3=5^y$

$y=^5\log3$

Perhatikan persamaan 1

$4^x+5^y+2^z=9$

Karena $4^x=5^y$ maka

$4^x+4^x+2^z=9$

$2\left(4^x\right)+2^z=9$

Karena $x=^4\log3$ maka

$2\left(4^{^4\log3}\right)+2^z=9$

$2\left(3\right)+2^z=9$

$6+2^z=9$

$2^z=3$

$z=^2\log3$

Periksa nilai penyelesaian

Pada persamaan (1)

$4^x+5^y+2^z=9$

$4^{^4\log3}+5^{^5\log3}+2^{^2\log3}=9$

$3+3+3=9$

$9=9$ (benar)

Pada persamaan (2)

$4^{\frac{x}{y}}=5$

$4^{\frac{^4\log3}{^5\log3}}=5$

$4^{^4\log3\ .\ ^3\log5}=5$

$4^{^4\log5}=5$

$5=5$ (benar)

Pada persamaan (3)

$4^x+5^y=6$

$4^{^4\log3}+5^{^5\log3}=6$

$3+3=6$

$6=6$ (benar)

Maka,

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{^4\log3}+\frac{1}{^5\log3}+\frac{1}{^2\log3}$

Ingat kembali bahwa $\frac{1}{^a\log b}=^b\log a$

$=^3\log4+^3\log5+^3\log2$

Ingat kembali bahwa $^a\log b+^a\log c=^a\log\left(bc\right)$

$=^3\log\left(4\ .\ 5\ .\ 2\right)$

$=^3\log40$