Bank Soal Matematika Wajib SMA Rotasi

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(-4,1\right)$ dan melalui titik $\left(1,2\right)$ . Jika lingkaran $L$ diputar terhadap titik $\left(-1,-2\right)$ searah jarum jam sejauh $90\degree$ maka lingkaran $L'$ yang dihasilkan adalah ....

A

$x^2+y^2+4x-2y=21$

B

$x^2+y^2-3x-4y=5$

C

$x^2+y^2-x-4y=9$

D

$x^2+y^2-4x-2y=21$

E

$x^2+y^2-2x+y=12$

Pembahasan:

Diketahui:

Lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(-4,1\right)$ dan melalui titik $\left(1,2\right)$

Lingkaran $L$ diputar terhadap titik $\left(-1,-2\right)$ searah jarum jam sejauh $90\degree$

Ditanya:

Lingkaran $L'$ yang dihasilkan $=?$

Jawab:

Mencari persamaan lingkaran terlebih dahulu

Untuk membentuk persamaan lingkaran perlu diketahui titik pusat dan jari-jarinya. Pada persoalan di atas, perlu dicari jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui titik pusat $\left(a,b\right)$ dan salah satu titik $\left(x,y\right)$ yang dilalui lingkaran sama dengan mencari jarak dari titik pusat ke titik tersebut.

$d=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$

Diketahui lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(-4,1\right)$ dan melalui titik $\left(1,2\right)$ maka

$d=\sqrt{\left(1-\left(-4\right)\right)^2+\left(2-1\right)^2}$

$=\sqrt{\left(1+4\right)^2+\left(2-1\right)^2}$

$=\sqrt{5^2+1^2}$

$=\sqrt{25+1}$

$=\sqrt{26}$

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

$\left(x-\left(-4\right)\right)^2+\left(y-1\right)^2=\left(\sqrt{26}\right)^2$

$\left(x+4\right)^2+\left(y-1\right)^2=26$

$x^2+8x+16+y^2-2y+1=26$

$x^2+y^2+8x-2y=9$

Mencari bayangan hasil rotasi

Secara umum bayangan titik $\left(x,y\right)$ yang dirotasikan pada pusat rotasi $\left(a, b\right)$ dengan sudut rotasi $\theta$ adalah $\left(x',y'\right)$ dengan