Bank Soal Matematika SMA Permutasi

Permutasi $r$ unsur yang diambil dari $n$ unsur yang berbeda, dengan $r\ \le n$ adalah $P_r^n$ yang didefinisikan sebagai:

$P_r^n=\frac{n!}{\left(n-r\right)!}$

Perhatikan bahwa dalam permutasi urutan sangat diperhatikan.

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial. Untuk setiap bilangan asli $$$n$, didefinisikan:

$n!=\left(n\right)\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\ldots\ \times3\times2\ \times1$

dengan $1!=1$ dan $0!\ =\ 1$.

Dalam soal di atas ddapatkan:

$P_3^n=2P_2^{n+1}$

$\Leftrightarrow\frac{n!}{\left(n-3\right)!}=2\ \frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1-2\right)!}$

$\Leftrightarrow\frac{n!}{\left(n-3\right)!}=2\ \frac{\left(n+1\right)!}{\left(n-1\right)!}$

$\Leftrightarrow\frac{n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)\times\left(n-3\right)!}{\left(n-3\right)!}=2\ \frac{\left(n+1\right)\times\left(n\right)\times\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}$

$\Leftrightarrow n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)=2\ \left(\left(n+1\right)\times\left(n\right)\right)$

$\Leftrightarrow\frac{n\times\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)}{n}=2\ \left(n+1\right)$

$\Leftrightarrow\left(n-1\right)\times\left(n-2\right)=2\left(n+1\right)$

$\Leftrightarrow n^2-3n+2=2n+2$

$\Leftrightarrow n^2-5n=0$

$\Leftrightarrow n\left(n-5\right)=0$

$\Leftrightarrow n=0$ atau $n=5$

Karena $r\ \le n$ maka nilai $n$ yang memenuhi adalah 5.

Jadi, nilai $n$ yang memenuhi adalah 5.