Bank Soal Matematika SMA Konsep dan Peluang Distribusi Normal

Diketahui:

$\mu=15$

$\sigma=7$

$x_1=22$

$x_2=29$

Ditanya:

Luas daerah bawah kurva normal di antara $x=22$ dan $x=29$ atau $P\left(22<X<29\right)=?$

Jawab:

Transformasi Distribusi Normal Baku

Untuk menghitung luasan daerah di bawah kurva normal, kita harus mentransformasikan distribusi normal ke distribusi normal baku $Z$ dengan rataan 0 dan variansi 1 menggunakan rumus umum $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$, sehingga

$P\left(x_1<X<x_2\right)=P\left(z_1<Z<z_2\right)$

Untuk $x_1=22$ dan $x_2=29$ berdasarkan transformasi normal baku $Z$ diperoleh

$z_1=\frac{22-15}{8}=\frac{7}{7}=1,0$

$z_2=\frac{29-15}{8}=\frac{14}{7}=2,0$

Sehingga,

$P\left(22<X<29\right)=P\left(1,00<Z<2,00\right)$

Sketsakan

$P\left(1,00<Z<2,00\right)$ artinya adalah luasan daerah di antara $z_1=1,00$ dan $z_2=2,00$ atau dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Menghitung Luas Daerah

Tabel Distribusi Normal menunjukkan luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri $z$. Oleh karena itu, untuk menemukan luas di antara $z_1=1,00$ dan $z_2=2,00$ dapat diperoleh dari selisih luas di sebelah kiri $z_2=2,00$ dan di sebelah kiri $z_1=1,00$ atau dapat dituliskan sebagai berikut.

$P\left(1,00<Z<2,00\right)=P\left(Z<2,00\right)-P\left(Z<1,00\right)$

Nilai $P\left(Z<1,00\right)$ dan $P\left(Z<2,00\right)$ dapat ditemukan melalui tabel Distribusi Normal di bawah ini.

Berikut cara menggunakan tabel distribusi normal.

Untuk $P\left(Z<1,00\right)$

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $1,0$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,00$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,8413$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z<1,00\right)=0,8413$

Untuk $P\left(Z<2,00\right)$

Pertama, lihat kolom sebelah kiri nilai $z$ yang bernilai $2,0$, kemudian bergeraklah mendatar sampai kolom di bawah $0,00$, sehingga ditemukan bilangan desimal $0,9772$ atau ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Sehingga $P\left(Z<2,00\right)=0,9772$

Dengan demikian,

$P\left(22<X<29\right)=P\left(1,00<Z<2,00\right)$

$\Leftrightarrow P\left(22<X<29\right)=P\left(Z<2,00\right)-P\left(Z<1,00\right)$

$\Leftrightarrow P\left(22<X<29\right)=0,9772-0,8413$

$\Leftrightarrow P\left(22<X<29\right)=0,1359$

Jadi, luas daerah di bawah kurva normal di antara $x=22$ dan $x=29$ adalah $0,1359$.