Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Trapesium sama kaki yang diilustrasikan seperti pada gambar berikut

Ditanya:

Keliling minimum trapesium $ABCD$ ?

Jawab:

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Misalkan $\angle EBC=x$. Untuk trapesium siku-siku yang diketahui pada soal, diperoleh

$\sin x=\frac{CE}{BC}\Leftrightarrow CE=BC\sin x=8\sin x$

$\cos x=\frac{EB}{BC}\Leftrightarrow EB=BC\cos x=8\cos x$

Keliling trapesium $ABCD$ adalah

$K=AE+EB+BC+CD+DA$

$\Leftrightarrow K=CD+EB+BC+CD+CE$

$\Leftrightarrow K=10+8\cos x+8+10+8\sin x$

$\Leftrightarrow K=8\sin x+8\cos x+28$

Mencari keliling minimum dapat dilakukan dengan mencari nilai minimum dari fungsi kelilingnya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diperoleh

$K'=8\cos x-8\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$K''=-8\sin x-8\cos x$

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$K'=0$

$\Leftrightarrow8\cos x-8\sin x=0$

$\Leftrightarrow8\cos x=8\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{8}{8}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow1=\tan x$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=1$ artinya $x$ berada di kuadran I atau III dan dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku seperti berikut.

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh

$\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan

$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$ 

sehingga

$K''=-8.\frac{1}{2}\sqrt{2}-8.\frac{1}{2}\sqrt{2}<0$ (maksimum)

Karena yang diminta soal adalah keliling minimum, maka nilai maksimum tidak perlu dicari.

Untuk kuadran III diperoleh

$\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$ dan

$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}$

sehingga

$K''=-8\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)-8\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)$

$\Leftrightarrow K''=8\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+8\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)>0$ (minimum)

dengan nilai minimum

$K=8\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+8\left(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)+28$

$\Leftrightarrow K=-\frac{8}{2}\sqrt{2}-\frac{8}{2}\sqrt{2}+28$

$\Leftrightarrow K=-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+28$

$\Leftrightarrow K=-8\sqrt{2}+28$

$\Leftrightarrow K=28-8\sqrt{2}$

Jadi keliling minimum trapesium $ABCD$ adalah $28-8\sqrt{2}$ cm