Bank Soal Matematika Wajib SMA Sistem Persamaan Dua Variabel

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diketahui

Himpunan penyelesaian $\left(x,y\right)$ untuk sistem persamaan kuadrat-kuadrat dua variabel di atas adalah ....

A

$HP=\left\{\left(2,3\right),\left(3,-2\right),\left(\sqrt{2},\sqrt{\frac{1}{3}}\right),\left(-\sqrt{2},\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\right\}$

B

$HP=\left\{\left(-3,2\right),\left(3,-2\right),\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right),\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)\right\}$

C

$HP=\left\{\left(0,2\right)\right\}$

D

$HP=\left\{\left(2,0\right),\left(1,-1\right)\right\}$

E

$HP=\left\{\left(0,0\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{3}{2}}\right),\left(1,-1\right),\left(\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)\right\}$

Pembahasan:

Persoalan sistem persamaan kuadrat-kuadrat dua variabel di atas dapat diselesaikan dengan cara faktorisasi-substitusi. Langkah-langkahnya adalah

Melakukan faktorisasi pada salah satu persamaan

Faktorkan persamaan $2x^2+7xy+6y^2=0$

$2x^2+7xy+6y^2=0$

$\left(2x+3y\right)\left(x+2y\right)=0$

$\left(2x+3y\right)=0$ atau $\left(x+2y\right)=0$

Jadi, $x=-\frac{3}{2}y$ atau $x=-2y$

Menggabungkan persamaan hasil faktorisasi dengan salah satu persamaan

Gabungkan persamaan linear di atas dengan salah satu persamaan. Sehingga diperoleh dua sistem persamaan linear-kuadrat

dan

Mencari penyelesaian dengan substitusi

*Sistem persamaan linear kuadrat yang pertama

subsitusikan $x=-\frac{3}{2}y$ ke persamaan $2x^2+xy+y^2=16$

$2x^2+xy+y^2=16$

$2\left(-\frac{3}{2}y\right)^2+\left(-\frac{3}{2}y\right)y+y^2=16$

$2\left(\frac{9}{4}y^2\right)-\frac{3}{2}y^2+y^2=16$

$\frac{9}{2}y^2-\frac{3}{2}y^2+y^2=16$

$\frac{6}{2}y^2+y^2=16$

$4y^2=16$

$y^2=4$

$y=\pm2$

substitusikan nilai-nilai $y$ ke persamaan $x=-\frac{3}{2}y$

untuk $y=2$

$x=-\frac{3}{2}y$

$x=-\frac{3}{2}\left(2\right)$

$x=-3$

untuk $y=-2$

$x=-\frac{3}{2}y$

$x=-\frac{3}{2}\left(-2\right)$

$x=3$

Sehingga diperoleh solusi $\left(-3,2\right)$ dan $\left(3,-2\right)$

*Sistem persamaan linear kuadrat yang kedua

substitusikan $x=-2y$ ke persamaan $2x^2+xy+y^2=16$

$2x^2+xy+y^2=16$

$2\left(-2y\right)^2+\left(-2y\right)y+y^2=16$

$2\left(4y^2\right)-2y^2+y^2=16$

$8y^2-2y^2+y^2=16$

$7y^2=16$

$y^2=\frac{16}{7}$

$y=\pm\sqrt{\frac{16}{7}}$

substitusikan nilai-nilai $y$ ke persamaan $x=-2y$

untuk $y=\sqrt{\frac{16}{7}}$

$x=-2y$

$x=-2\sqrt{\frac{16}{7}}$

untuk $y=-\sqrt{\frac{16}{7}}$

$x=-2y$

$x=-2\left(-\sqrt{\frac{16}{7}}\right)$

$x=2\sqrt{\frac{16}{7}}$

sehingga solusi yang diperoleh $\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right)$ dan $\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)$

Maka, $HP=\left\{\left(-3,2\right),\left(3,-2\right),\left(2\sqrt{\frac{16}{7}},-\sqrt{\frac{16}{7}}\right),\left(-2\sqrt{\frac{16}{7}},\sqrt{\frac{16}{7}}\right)\right\}$