Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Integral

Diketahui:

Gradien garis singgung suatu kurva adalah $\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}$

Melalui titik $\left(9,16\right)$

Ditanya:

Persamaan kurva $=?$

Dijawab:

$\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow dy=2\sqrt{x}dx$

$\Leftrightarrow\int dy=\int2\sqrt{x}dx$

$\Leftrightarrow y=\int2\sqrt{x}dx$; ingat bahwa $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ maka:

$\Leftrightarrow y=\int2x^{\frac{1}{2}}dx$

Untuk $f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1$ maka:

$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$ dan $\int adx=ax+C$

Sehingga didapatkan:

$y=\int2x^{\frac{1}{2}}dx$

$\Leftrightarrow y=\frac{2}{(\frac{1}{2}+1)}x^{(\frac{1}{2}+1)}+C$

$\Leftrightarrow y=\frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+C$

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

pangkat pecahan biasa dari $x^{\frac{3}{2}}$ diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi $x^{\frac{3}{2}}=x^{1\frac{1}{2}}=x^1x^{\frac{1}{2}}$ sehingga:

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x^1x^{\frac{1}{2}}+C$; ingat bahwa $x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C$

Kurva melalui titik $(9,16)$ artinya $x=9$ dan $y=16$, maka akan diperoleh konstanta $C$sebagai berikut:

$y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C$

$\Leftrightarrow16=\frac{4}{3}(9)\sqrt{9}+C$

$\Leftrightarrow16=\frac{4}{3}(9)(3)+C$

$\Leftrightarrow16=36+C$

$\Leftrightarrow16-36=C$

$\Leftrightarrow-20=C$

$\Leftrightarrow C=-20$

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah $y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-20$