Bank Soal Matematika Wajib SMA Aplikasi Integral

Soal

Pilihan Ganda

Diketahui gradien garis singgung pada suatu kurva adalah dydx=2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}. Jika kurva tersebut melalui titik (9,16)\left(9,16\right), maka persamaan kurva tersebut adalah ....

A

y=43xxy=\frac{4}{3}x\sqrt{x}

B

y=43xx16y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-16

C

y=43xx+16y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+16

D

y=43xx20y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-20

E

y=43xx+20y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+20

Pembahasan:

Diketahui:

Gradien garis singgung suatu kurva adalah dydx=2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}

Melalui titik (9,16)\left(9,16\right)

Ditanya:

Persamaan kurva =?=?

Dijawab:

dydx=2x\frac{dy}{dx}=2\sqrt{x}

dy=2xdx\Leftrightarrow dy=2\sqrt{x}dx

dy=2xdx\Leftrightarrow\int dy=\int2\sqrt{x}dx

y=2xdx\Leftrightarrow y=\int2\sqrt{x}dx; ingat bahwa x=x12\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} maka:

y=2x12dx\Leftrightarrow y=\int2x^{\frac{1}{2}}dx


Untuk f(x)=axn, n1f\left(x\right)=ax^n,\ n\ne-1 maka:

axndx=an+1xn+1+C\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C dan adx=ax+C\int adx=ax+C

Sehingga didapatkan:

y=2x12dxy=\int2x^{\frac{1}{2}}dx

y=2(12+1)x(12+1)+C\Leftrightarrow y=\frac{2}{(\frac{1}{2}+1)}x^{(\frac{1}{2}+1)}+C

y=232x32+C\Leftrightarrow y=\frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+C

y=43x32+C\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+C

pangkat pecahan biasa dari x32x^{\frac{3}{2}} diubah dalam pangkat pecahan campuran menjadi x32=x112=x1x12x^{\frac{3}{2}}=x^{1\frac{1}{2}}=x^1x^{\frac{1}{2}} sehingga:

y=43x1x12+C\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x^1x^{\frac{1}{2}}+C; ingat bahwa x12=xx^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}

y=43xx+C\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C

Kurva melalui titik (9,16)(9,16) artinya x=9x=9 dan y=16y=16, maka akan diperoleh konstanta CCsebagai berikut:

y=43xx+Cy=\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C

16=43(9)9+C\Leftrightarrow16=\frac{4}{3}(9)\sqrt{9}+C

16=43(9)(3)+C\Leftrightarrow16=\frac{4}{3}(9)(3)+C

16=36+C\Leftrightarrow16=36+C

1636=C\Leftrightarrow16-36=C

20=C\Leftrightarrow-20=C

C=20\Leftrightarrow C=-20

Jadi, persamaan kurva tersebut adalah y=43xx20y=\frac{4}{3}x\sqrt{x}-20

Video
05 April 2021
Penggunaan Integral dalam Kehidupan
Rangkuman
27 April 2021
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak | Matematika | Kelas 10 | KD 3.1 & KD 4.1

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal