Diketahui: $f(x)=ax^2-bx$ dan $f\left(3\right)=-9$

Ditanya: Nilai dari $2a+b$

Dijawab:

Jika $f\left(x\right)=ax^n$, dimana$$$$ $a,n\in R$ dan $a\ne0$ , maka turunan pertama fungsi $f$ dapat ditentukan dengan metode berikut.

$f'\left(x\right)=anx^{n-1}$

Adapun syarat suatu fungsi berada dalam kondisi stasioner di $x=d$ adalah $f'\left(d\right)=0$. Agar lebih mudah, kita cukup mencari $f'\left(x\right)=0$, sehingga didapatkan nilai $x$ yang menyebabkan fungsi tersebut stasioner.

Berdasarkan kedua metode di atas, diperoleh:

$f'\left(x\right)=\left(a\times2\right)x^{2-1}-\left(b\times1\right)x^{1-1}$

$f'(x)=2ax-b$

$f'\left(x\right)=0$

$2ax-b=0\ \Rightarrow\ x=\frac{b}{2a}$

Jadi, fungsi $f(x)=ax^2-bx$ stasioner di titik $x=\frac{b}{2a}$

Pada soal disebutkan bahwa fungsi tersebut stasioner di titik $x=3$. Hal itu berakibat:

$x=\frac{b}{2a}=3\ \Rightarrow\ b=6a$

Substitusikan nilai $b=6a$ dan $x=3$ ke $f\left(x\right)$, sehingga diperoleh:

$f\left(x\right)=ax^2-(6a)x=ax^2-6ax$

$f\left(3\right)=a\left(3\right)^2-6a(3)$

$-9=9a-18a$

$-9=-9a\ \Rightarrow\ a=1$

Substitusikan nilai $a=1$ dan $x=3$ ke persamaan $b$, diperoleh:

$b=2\left(1\right)\left(3\right)=6$

Menentukan nilai $2a+b$ :

$2a+b=2\left(1\right)+6=8$

Jadi, nilai dari $2a+b$ adalah 8.