Secara umum, pembuktian menggunakan induksi matematika terdiri dari dua tahap, yaitu:

1. Tahap pertama: basis induksi. Akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=a$, dengan $a$ bilangan asli terkecil yang memenuhi $S\left(n\right)$.
2. Tahap kedua: langkah induksi. Diandaikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k$, kemudian akan dibuktikan $S\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$.

Pernyataan $S\left(n\right)$ dikatakan benar untuk $n=p$ ($p$ dapat berupa bilangan maupun variabel) jika dengan mensubstitusikan $n=p$ pada $S\left(n\right)$, maka pernyataan $S\left(n\right)$ benar/berlaku.

Diketahui $P\left(n\right)$ menyatakan bahwa $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+1$ habis dibagi 3. Pada soal telah diandaikan bahwa $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k$. Berdasarkan langkah induksi, akan dibuktikan $P\left(n\right)$ benar untuk $n=k+1$, yaitu dengan mensubstitusikan $n=k+1$ ke dalam $P\left(n\right)$.

Dengan kata lain, untuk $n=k+1$ berlaku

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=\left(k+1\right)^2+\left(\left(k+1\right)+1\right)^2+\left(\left(k+1\right)+2\right)^2+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=\left(k+1\right)^2+\left(k+1+1\right)^2+\left(k+1+2\right)^2+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=\left(k+1\right)^2+\left(k+2\right)^2+\left(k+3\right)^2+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=\left(k^2+2k+1\right)+\left(k^2+4k+4\right)+\left(k^2+6k+9\right)+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=k^2+2k+1+k^2+4k+4+k^2+6k+9+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=k^2+k^2+k^2+2k+4k+6k+1+4+9+1$

$n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+1=3k^2+12k+15$

habis dibagi 3.