Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$

Ditanya:

Interval $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Menyelesaikan syarat akar jika ada suku yang memiliki akar baik di pembilang maupun penyebut.
5. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
6. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal ini, pertidaksamaannya adalah

$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$ ... (1)

Karena bentuknya belum seperti bentuk umum, kita pindahkan ruas terlebih dahulu.

$\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}-3<0$

⇔  $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}-3x}{x}<0$ ... (2)

Di bagian pembilang, ada syarat akar yang perlu diselesaikan.

$1-4x^2\ge0$

$4x^2-1\le0$ ... (3)

Pertidaksamaan (3) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (3) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (3), diperoleh

$4x^2-1=0$

Persamaan ini memiliki bentuk $a^2-b^2$. Bentuk ini juga dapat ditulis sebagai $\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Dari sini, dapat diketahui bahwa $a=2x\$ dan $b=1$. Diperoleh

$\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=0$

$2x-1=0$ ⇔  $x=\frac{1}{2}$ atau

$2x+1=0$ ⇔  $x=-\frac{1}{2}$

Pembuat nolnya adalah $-\frac{1}{2}$ dan $\frac{1}{2}$. Tanda persamaannya adalah $\le$ sehingga $-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}$ (*).

Kembali ke pertidaksamaan (2), $f\left(x\right)=1-\sqrt{1-4x^2}-3x$ dan $g\left(x\right)=x$.

Kita cari pembuat nol untuk fungsi $f\left(x\right)$ terlebih dahulu.

$f\left(x\right)=0$

⇔  $1-\sqrt{1-4x^2}-3x=0$

⇔  $1-3x=\sqrt{1-4x^2}$

Kuadratkan kedua ruas

⇔  $1-6x+9x^2=1-4x^2$

⇔  $13x^2-6x=0$

⇔  $x\left(13x-6\right)=0$

$x=0$ atau

$13x-6=0$ ⇔  $x=\frac{6}{13}$

Selanjutnya, cari pembuat nol untuk $g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)=0$

$x=0$

Ada dua titik pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Jika dinyatakan dalam garis bilangan sebagai berikut, anggaplah solusinya adalah (**).

Solusi pertidaksamaan (1) adalah gabungan dari (*) dan (**). Gabungkan dengan garis bilangan solusi (*) akan diperoleh:

Jadi, solusinya adalah $0<x<\frac{6}{13}$.

Pembuktian:

Untuk rentang $0<x<\frac{6}{13}$, kita gunakan $x=\frac{1}{4}$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔  $\frac{1-\sqrt{1-4\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2}-3\cdot\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}<0$

⇔  $\frac{1-\sqrt{1-\frac{1}{4}}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}<0$

⇔  $\frac{1-\sqrt{\frac{3}{4}}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}<0$

⇔  $\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}<0$

⇔  $\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}<0$

⇔  $1-2\sqrt{3}<0$ ... (3)

Ruas kiri negatif. Dengan demikian, interval tersebut menghasilkan nilai negatif, Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.