Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Irasional

Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{x^2-4x+4}<3$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan di atas memiliki bentuk $\sqrt{f\left(x\right)}<k$. Solusi dari pertidaksamaan dengan bentuk ini adalah irisan dari solusi dengan kondisi-kondisi berikut:

1. Syarat akar $f\left(x\right)\ge0$ (I)
2. Kuadratkan kedua ruas menjadi $f\left(x\right)<k^2$ (II)

Diketahui dari soal bahwa pertidaksamaannya adalah

$\sqrt{x^2-4x+4}<3$ ... (1)

dengan $f\left(x\right)=x^2-4x+4,\ k=3$.

Kasus 1

Syarat akarnya adalah:

$x^2-4x+4\ge0$ ... (2)

Pertidaksamaan (2) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (2) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari pembuat nol pertidaksamaan (2), diperoleh

$x^2-4x+4=0$

⇔ $\left(x-2\right)^2=0$

⇔ $x=2$ (ada dua titik berulang)

Karena $\left(x-2\right)^2\ge0$ untuk semua nilai $x$ riil, dan tanda pertidaksamaan adalah $\ge0$, solusi dari pertidaksamaan ini adalah $x\in\Re$.

Kasus 2

$x^2-4x+4<9$

⇔ $x^2-4x-5<0$

Dengan cara yang sama seperti kasus 1, kita dapat menyelesaikan pertidaksamaan ini.

$x^2-4x-5=0$

⇔ $\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0$

$x=5$ atau $x=-1$

Ada dua titik pembuat nol, yaitu $-1$ dan $5$. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, solusi pertidaksamaannya adalah $-1<x<5$ ... (II).

Solusi keseluruhan adalah irisan dari (I) dan (II), seperti ditunjukkan oleh garis bilangan di bawah.

Jadi, solusinya adalah $-1<x<5$.

Pembuktian:

Untuk rentang $-1<x<5$, kita gunakan $x=0$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (1).

⇔ $\sqrt{0^2-4\cdot0+4}<3$

⇔ $\sqrt{4}<3$

⇔ $2<3$ ... (3)

Pernyataan (3) benar. Jadi, solusi tersebut terbukti memenuhi pertidaksamaan.