Diketahui:

Pertidaksamaan $\sqrt{1-2x}\le x+1$

Ditanya:

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut berada pada interval?

Jawab:

Pertidaksamaan irasional memiliki bentuk umum

$\sqrt{f\left(x\right)}\le\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)},\ \sqrt{f\left(x\right)}\ge\sqrt{g\left(x\right)},\$ maupun $\sqrt{f\left(x\right)}>\sqrt{g\left(x\right)}$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom serta ruas kanan bisa juga bukan dalam bentuk akar.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah

1. Mencari syarat akar / numerusnya, yaitu $f\left(x\right)\ge0$ dan $g\left(x\right)\ge0$
2. Mengkuadratkan kedua ruas, kemudian selesaikan
3. Penyelesaiannya merupakan irisan dari bagian 1 dan 2

Pada soal diketahui pertidaksamaan irasional

$\sqrt{1-2x}\le x+1$ . . . (1)

artinya $f\left(x\right)=1-2x$ dan $g\left(x\right)=x+1$

Akan dicari syarat akarnya, diperoleh

$f\left(x\right)\ge0$

$\Leftrightarrow1-2x\ge0$

$\Leftrightarrow1\ge2x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\ge x$ . . . (2)

Kemudian kuadratkan kedua ruas lalu selesaikan, didapat

$\left(\sqrt{1-2x}\right)^2\le(x+1)^2$

$\Leftrightarrow1-2x\le x^2+2x+1$

$\Leftrightarrow0\le x^2+2x+1-1+2x$

$\Leftrightarrow0\le x^2+2x+2x+1-1$

$\Leftrightarrow0\le x^2+4x$ . . . (3)

Pertidaksamaan (3) dapat ditulis menjadi

$x^2+4x\ge0$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

1. Memastikan salah satu ruas pertidaksamaan adalah nol dan koefisien $x^2$ positif.
2. Mencari pembuat nol persamaan kuadratnya.
3. Misalkan $x_1$ dan $x_2$ merupakan pembuat nolnya dengan $x_1<x_2$ maka penyelesaiannya adalah

• $x\le x_1$ atau $x\ge x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\ge$ (atau $>$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)
• $x_1\le x\le x_2$, untuk tanda pertidaksamaan $\le$ (atau $<$ dengan menghilangkan tanda sama dengannya)

Salah satu ruas dari pertidaksamaan (*) bernilai nol dan koefisien $x^2$ positif. Akan dicari harga nol pertidaksamaan (*), diperoleh

$x^2+4x=0$ . . . (**)

Perlu diingat sifat distributif juga operasi aljabar sebagai berikut:

Untuk sembarang bilangan $a,\ b,$ dan $c$ berlaku $\left(a+b\right).c=a.c+b.c$

Berdasarkan sifat distributif, persamaan (**) menjadi

$x\left(x+4\right)=0$

Artinya,

$x=0$ atau

$x+4=0\Leftrightarrow x=-4$

Karena $-4<0$ dan tanda pertidaksamaan pada (*) adalah $\ge$ maka penyelesaian dari pertidaksamaan (*) adalah

$x\le-4$ atau $x\ge0$ . . . (***)

Solusi pertidaksamaan (1) yang diberikan pada soal adalah yang memenuhi kondisi (2) dan (***). Diperhatikan garis bilangan berikut

Nilai $x$ yang memenuhi kondisi (2) dan (***) adalah yang diberi warna. Jadi penyelesaian pertidaksamaan pada soal berada pada interval $\left[0,\ \frac{1}{2}\right]$