Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Rasional

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Semua bilangan riil $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x+1}{x+3}\le2$ adalah ....

E

$x>-3$ atau $x>-5$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{x+1}{x+3}\le2$

Ditanya:

Solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
Menyamakan penyebut
Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$ . Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{x+1}{x+3}\le2$ ... (1)

sehingga dapat kita lakukan langkah-langkah seperti di atas.

⇔ $\frac{x+1}{x+3}-2\le0$

⇔ $\frac{x+1-2\left(x+3\right)}{x+3}\le0$

⇔ $\frac{x+1-2x-6}{x+3}\le0$

⇔ $\frac{-x-5}{x+3}\le0$

⇔ $\frac{x+5}{x+3}\ge0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), diketahui $f\left(x\right)=x+5$ dan $g\left(x\right)=x+3$ .

Selanjutnya, kita cari pembuat nol di kedua fungsi.

$f\left(x\right)=0$

$x+5=0$ ⇔ $x=-5$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x+3=0$

⇔ $x=-3$

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ . Selanjutnya, garis bilangan di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari ketiga titik pembuat nol tersebut. Nilai $-3$ tidak diberi bulatan penuh karena penyebut tidak boleh sama dengan nol. Semua nilai tersebut dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

Karena tanda pertidaksamaan adalah $\le$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $x>-3$ , kita ambil nilai $x=-2$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{-2+5}{-2+3}\ge0$

⇔ $\frac{3}{1}\ge0$

⇔ $3\ge0$ ... (3)

Karena ruas kiri bernilai positif, berarti nilai di rentang tersebut benar menghasilkan nilai positif. Selain itu, pernyataan (3) benar sehingga memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, solusinya adalah $x>-3$ atau $x\le-5$ .