Bank Soal Matematika Wajib SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Soal

Pilihan Ganda

Lihat Pembahasan

Diberikan pertidaksamaan $\left(x-1\right)\left(x-8\right)\le\left(x-8\right)$ . Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah ....

A

$x\le -8$ atau $x\ge-2$

B

$x\le 2$ atau $x\ge8$

C

$-8\le x\le -2$

D

$2\le x\le 8$

E

$x\le 8$

Pembahasan:

Diketahui:

Pertidaksamaan $\left(x-1\right)\left(x-8\right)\le\left(x-8\right)$

Ditanya:

Semua nilai $x$ yang memenuhi?

Jawab:

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\left(x-1\right)\left(x-8\right)\le\left(x-8\right)$ . . . (*)

Pertidaksamaan (*) dapat diubah menjadi

$\left(x-1\right)\left(x-8\right)\le\left(x-8\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2-9x+8\right)\le\left(x-8\right)$

$\Leftrightarrow\left(x^2-9x+8\right)-\left(x-8\right)\le0$

$\Leftrightarrow x^2-9x+8-x+8\le0$

$\Leftrightarrow x^2-9x-x+8+8\le0$

$\Leftrightarrow x^2-10x+16\le0$ . . . (1)

Pertidaksamaan (1) merupakan pertidaksamaan kuadrat. Perlu diingat bahwa pertidaksamaan kuadrat mempunyai bentuk umum

$ax^2+bx+c<0,\ ax^2+bx+c\le0,\ ax^2+bx+c>0,\text{ atau}\ ax^2+bx+c\ge0$

dengan $a,\ b,\ c$ merupakan konstanta dan $a\ne0$ .

Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah

Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol dari pertidaksamaan (1) adalah

$x^2-10x+16=0$ . . . (2)

Nilai $p,\ q$ sehingga $p+q=-10$ dan $pq=16$ adalah $p=-8$ dan $q=-2$

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+p\right)\left(x+q\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-8\right)\left(x-2\right)=0$ . . . (3)

Artinya,

$x-8=0\Leftrightarrow x=8$ atau

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

Untuk $x<2$ , diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(0-8\right)\left(0-2\right)=\left(-8\right)\left(-2\right)=16>0$ (bernilai positif).

Untuk $2<x<8$ , diambil sebagai sampel $x=3$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(3-8\right)\left(3-2\right)=\left(-5\right).1=-5<0$ (bernilai negatif).

Untuk $x>8$ , diambil sebagai sampel $x=9$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (3) diperoleh

$\left(9-8\right)\left(9-2\right)=1.7=7>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan (*) memiliki tanda $\le$ . Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena pertidaksamaan (*) memuat sama dengan, maka $x=2$ dan $x=8$ memenuhi pertidaksamaan (*). Jadi semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $2\le x\le 8$