Bank Soal Matematika SMA Pertidaksamaan Kuadrat

Pada soal diketahui pertidaksamaan $\left(x^2-3x-18\right)\left(x+3\right)<0$. Pertidaksamaan tersebut pertidaksamaan pangkat tiga (perkalian antara bentuk kuadrat dengan bentuk linear). Penyelesaian pertidaksamaan tersebut serupa dengan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, yaitu:

1. Mencari harga nol dari pertidaksamaan tersebut, dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), kemudian memfaktorkan ruas kiri.
2. Mencari nilai $x$ yang sesuai dengan tanda pertidaksamaannya.

Harga nol pertidaksamaan tersebut adalah

$\left(x^2-3x-18\right)\left(x+3\right)=0$ . . . (1)

Artinya $x^2-3x-18=0$ atau $x+3=0$

Untuk $x^2-3x-18=0$ . . .(2)

Nilai $a,\ b$ sehingga $a+b=-3$ dan $ab=-18$ adalah $a=-6$ dan $b=3$

Akibatnya persamaan (2) dapat difaktorkan menjadi

$\left(x+a\right)\left(x+b\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x+3\right)=0$ . . . (3)

Berdasarkan persamaan (3), persamaan (1) dapat diubah menjadi

$\left(x-6\right)\left(x+3\right)\left(x+3\right)=0$ . . . (4)

Artinya

$x-6=0\Leftrightarrow x=6$ atau

$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$ atau

$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$

Karena $-3=-3$, hanya terdapat dua batas, yaitu $x=-3$ dan $x=6$

Untuk $x<-3$, diambil sebagai sampel $x=-4$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh

$\left(-4-6\right)\left(-4+3\right)\left(-4+3\right)=\left(-10\right)\left(-1\right)\left(-1\right)=-10<0$ (bernilai negatif).

Untuk $-3<x<6$, diambil sebagai sampel $x=0$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh

$\left(0-6\right)\left(0+3\right)\left(0+3\right)=\left(-6\right).3.3=-54<0$ (bernilai negatif).

Untuk $x>6$, diambil sebagai sampel $x=7$ (dapat dipilih yang lain). Berdasarkan persamaan (4) diperoleh

$\left(7-6\right)\left(7+3\right)\left(7+3\right)=1.10.10=100>0$ (bernilai positif).

Pengecekan ketiga kemungkinan tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan berikut:

Pertidaksamaan pada soal memiliki tanda $<$. Artinya nilai $x$ yang sesuai adalah yang menghasilkan nilai negatif.

Karena pertidaksamaan pada soal tidak memuat sama dengan, maka $x=6$ tidak memenuhi pertidaksamaan tersebut. Jadi penyelesaiannya adalah $x<6$