Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{3}{\sqrt{2-x}}-\sqrt{2-x}<2$

Ditanya:

Interval solusi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Selesaikan syarat akar jika ada.
5. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
6. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal diketahui pertidaksamaan

$\frac{3}{\sqrt{2-x}}-\sqrt{2-x}<2$ ... (1)

Samakan penyebut pada ruas kiri pertidaksamaan (1) akan menjadi

⇔ $\frac{3-\left(2-x\right)}{\sqrt{2-x}}<2$

⇔ $\frac{x+1}{\sqrt{2-x}}<2$ ... (2)

Selanjutnya, kita cari syarat akar seperti di bawah

$2-x>0$ (tidak boleh sama dengan nol karena letaknya di penyebut)

⇔ $x<2$ (*)

Pada pertidaksamaan (2), kita dapat ubah bentuknya menjadi bentuk umum pertidaksamaan rasional.

⇔$\frac{x+1}{\sqrt{2-x}}-2<0$

⇔$\frac{x+1-2\sqrt{2-x}}{\sqrt{2-x}}<0$ ... (3)

Dari bentuk pertidaksamaan (3) ini, $f\left(x\right)=x+1-2\sqrt{2-x}$ dan $g\left(x\right)=\sqrt{2-x}$.

Kita cari pembuat nol untuk kedua fungsi tersebut.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x+1-2\sqrt{2-x}=0$

⇔$\ x+1=2\sqrt{2-x}$

Kuadratkan kedua ruas:

⇔ $\ x^2+2x+1=4\left(2-x\right)$

⇔ $\ x^2+2x+1=8-4x$

⇔ $\ x^2+6x-7=0$

⇔ $\left(x+7\right)\left(x-1\right)=0$

$x+7=0$ ⇔ $x=-7$ atau

$x-1=0$ ⇔ $x=1$

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk fungsi $g\left(x\right)$.

$g\left(x\right)=0$

⇔ $\sqrt{2-x}=0$

⇔ $2-x=0$

⇔ $x=2$

Ada tiga titik pembuat nol dari $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Tabel di bawah menunjukkan tanda hasil perhitungan fungsi jika di interval tertentu.

Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$, kita ambil nilai yang negatif. Solusi pada bagian ini adalah $x<1$ (**)

Solusi pertidaksamaan (1) adalah irisan dari solusi (*) dan (**). Jika dibuat garis bilangannya, akan menghasilkan irisan seperti di bawah.

Pembuktian:

Untuk interval $-7<x<-1$, kita gunakan $x=-2$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (3).

⇔ $\frac{-2+1-2\sqrt{2-\left(-2\right)}}{\sqrt{2-\left(-2\right)}}<0$

⇔ $\frac{-1-2\cdot2}{2}<0$

⇔ $\frac{-5}{2}<0$ ... (4)

Tanda di ruas kiri negatif, sehingga interval ini memang menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (4) benar. Dengan demikian, solusinya memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, intervalnya adalah $\left(-\infty,\ 1\right)$.