Diketahui:

Pertidaksamaan $\frac{4500x}{x^2+32}>375$

Ditanya:

Batas nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan?

Dijawab:

Pertidaksamaan rasional dalam bentuk pecahan memiliki bentuk umum

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\ge0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0,\ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$ , atau $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le0$

dengan $f\left(x\right)$ dan $g\left(x\right)$ berupa konstanta maupun polinom.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan yang tidak memiliki bentuk ini, langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Membuat salah satu ruas menjadi nol dengan "memindahkan ruas"
2. Menyamakan penyebut
3. Melakukan operasi matematika di bagian pembilang setelah menyamakan penyebut.
4. Mencari pembuat nol dari kedua fungsi, yaitu $f\left(x\right)=0$ dan $g\left(x\right)=0$. Bisa juga dengan pemfaktoran jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat.
5. Masukkan nilai pembuat nol tersebut ke garis bilangan. Pastikan di bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada soal, diketahui bentuk pertidaksamaan adalah

$\frac{4500x}{x^2+32}>375$ ... (1)

sehingga kita dapat lakukan langkah-langkah seperti di atas.

$\frac{4500x}{x^2+32}-375>0$

⇔ $\frac{4500x-375\left(x^2+32\right)}{x^2+32}>0$

Supaya angkanya lebih sederhana, kita bagi kedua ruas dengan 375.

⇔ $\frac{12x-x^2-32}{x^2+32}>0$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$ agar suku $x^2$ positif.

⇔ $\frac{x^2-12x+32}{x^2+32}<0$ ... (2)

Dari pertidaksamaan (2), $f\left(x\right)=x^2-12x+32$ dan $g\left(x\right)=x^2+32$.

Selanjutnya, kita cari pembuat nol untuk masing-masing fungsi.

$f\left(x\right)=0$

⇔ $x^2-12x+32=0$

⇔ $\left(x-8\right)\left(x-4\right)=0$

$x-8=0$ ⇔ $x=8$ atau

$x-4=0$ ⇔ $x=4$

$g\left(x\right)=0$

⇔ $x^2+32=0$

Tidak ada nilai $x$ riil yang memenuhi persamaan ini. Jadi, tidak ada pembuat nol di fungsi $g\left(x\right)$.

Totalnya, ada dua nilai pembuat nol di $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$. Selanjutnya, tabel di bawah menunjukkan tanda tiap suku atau unsur di setiap rentang nilai yang dihasilkan dari kedua titik pembuat nol tersebut.

Garis bilangannya ditunjukkan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaan adalah $<$ , kita cari hasil yang negatif.

Pembuktian:

Untuk rentang $4<x<8$, kita gunakan $x=5$ untuk dimasukkan ke pertidaksamaan (2).

⇔ $\frac{5^2-12\cdot5+32}{5^2+32}<0$

⇔ $\frac{25-60+32}{25+32}<0$

⇔ $\frac{-3}{57}<0$ ... (3)

Ruas kiri negatif. Dengan demikian, rentang tersebut menghasilkan nilai negatif. Selain itu, pernyataan (3) benar, sehingga solusi tersebut memenuhi pertidaksamaan.

Jadi, batas jarak dari pusat kota adalah $4<x<8$.