Bank Soal Matematika SMA Sistem Pertidaksamaan Dua Variabel

Diketahui:

Titik pusat elips: $\left(2,0\right)$

Panjang mayor: $2a=6$ , maka $a=3$

Panjang minor: $2b=4$, maka $b=2$

Titik yang dilalui garis $\left(5,0\right),\ \left(2,-2\right)$

Ditanya:

Apakah sistem pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah penyelesaian tetsebut?

Dijawab:

Persamaan elips dengan titik pusat $\left(p,q\right)$

$\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1$

Jika $\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}<1$ , maka daerah penyelesaian berada di dalam elips.

Jika $\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}=1$ , maka daerah penyelesaian berada pada elips.

Jika $\frac{\left(x-p\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-q\right)^2}{b^2}>1$ , maka daerah penyelesaian berada di luar elips.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $>$ atau $<$, maka elips digambarkan putus-putus, begitupula degan garis.

Jika pertidaksamaan memiliki tanda hubung $\ge$ atau $\le$, maka elips digambarkan bersambung, begitupula dengan garis.

Persamaan garis yang melalui $\left(x_1,y_1\right),\ \left(x_2,y_2\right)$:

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

=============================================

Elips:

$\frac{\left(x-2\right)^2}{3^2}+\frac{\left(y-0\right)^2}{2^2}=1$

$\frac{\left(x-2\right)^2}{9}+\frac{\left(y-0\right)^2}{4}=1$

$4\left(x-2\right)^2+9y^2=36$

$4\left(x^2-4x+4\right)+9y^2=36$

$4x^2-16x+16+9y^2=36$

$4x^2-16x+9y^2+16-36=0$

$4x^2-16x+9y^2-20=0$

Karena daerah penyelesaian berada di dalam elips, dan elips disajikan tidak putus-putus, maka pertidaksamaannya adalah $4x^2-16x+9y^2-20\le0$

Garis:

$x_1=5,\ y_1=0,\ x_2=2,\ y_2=-2$

$\frac{y-0}{-2-0}=\frac{x-5}{2-5}$

$\frac{y}{-2}=\frac{x-5}{-3}$

$-3y=-2\left(x-5\right)$

$-3y=-2x+10$

$-3y+2x=10$

Uji titik:

Titik $\left(6,0\right)$ yang merupakan titik di bawah garis.

$-3y+2x=-3.0+2.6=0+12>10$

Maka didapat $-3y+2x>10$

Titik $\left(0,0\right)$ yang merupakan titik di atas garis.

$-3y+2x=-3\left(0\right)+2\left(0\right)=0$

Maka didapat $-3x+2y<10$

Dari perhitungan serta petunjuk yang kita miliki, sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian tersebut adalah $4x^2-16x+9y^2-20\le0;\ -3y+2x\ge10$ .