Bank Soal Matematika SMA Deret Geometri

Diketahui:

Deret geometri memiliki $S_{\infty}=72$ dan $U_2=16$

Ditanya:

Suku ke-4 deret geometri tersebut?

Jawab:

Rumus umum jumlah deret geometri tak hingga adalah $S_{\infty}=\frac{a}{1-r}$ sehingga diperoleh

$\frac{a}{1-r}=72\Leftrightarrow a=72\left(1-r\right)$ . . . (1)

Rumus umum suku ke-$n$ deret geometri adalah $U_n=ar^{n-1}$ sehingga diperoleh

$U_2=ar=16$ . . . (2)

Berdasarkan (1) dan (2) diperoleh

$ar=16$

$\Leftrightarrow72\left(1-r\right)r=16$

$\Leftrightarrow\left(1-r\right)r=\frac{16}{72}$

$\Leftrightarrow r-r^2=\frac{2}{9}$

$\Leftrightarrow0=r^2-r+\frac{2}{9}$

$\Leftrightarrow0=\left(r-\frac{2}{3}\right)\left(r-\frac{1}{3}\right)$

Artinya

$r-\frac{2}{3}=0\Leftrightarrow r=\frac{2}{3}$ sehingga $ar=16\Leftrightarrow a=\frac{16}{r}=\frac{16}{\left(\frac{2}{3}\right)}=\frac{16.3}{2}=8.3=24$

atau

$r-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow r=\frac{1}{3}$ sehingga $ar=16\Leftrightarrow a=\frac{16}{r}=\frac{16}{\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{16.3}{1}=48$

Dengan demikian suku ke-4 deret geometri tersebut adalah

$U_4=ar^3$

untuk $r=\frac{2}{3}$ dan $a=24$ didapat $U_4=24\left(\frac{2}{3}\right)^3=24\left(\frac{8}{27}\right)=\frac{64}{9}$ atau

untuk $r=\frac{1}{3}$ dan $a=48$ didapat $U_4=48\left(\frac{1}{3}\right)^3=48\left(\frac{1}{27}\right)=\frac{16}{9}$