Bank Soal Matematika SMA Deret Geometri

Diketahui:

Barisan geometri mempunyai $U_3=24$, $U_5=6$, dan $U_n=\frac{3}{4}$.

Ditanya:

Jumlah semua suku barisan tersebut?

Jawab:

Rumus suku ke-$n$ barisan geometri adalah $U_n=ar^{n-1}$

Pada soal diketahui $U_3=24$ dan $U_5=6$

Artinya $U_3=ar^2=24$ dan $U_5=ar^4=6$

sehingga dapat kita peroleh

$\frac{ar^4}{ar^2}=\frac{6}{24}\Leftrightarrow r^2=\frac{1}{4}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}$

dan

$ar^2=24\Leftrightarrow a=\frac{24}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{24}{\left(\frac{1}{4}\right)}=24.4=96$

Karena suku terakhir barisan yang diberikan adalah $\frac{3}{4}$. Dapat kita peroleh

$U_n=a.r^{n-1}$

$\Leftrightarrow\frac{3}{4}=96.\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\Leftrightarrow\frac{3}{4}.\frac{1}{96}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{4}.\frac{1}{32}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^2.\left(\frac{1}{2}\right)^5=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}\right)^7=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\Leftrightarrow7=n-1$

$\Leftrightarrow8=n$

Jumlah deret geometri dengan $r<1$ adalah

$S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

$\Leftrightarrow S_8=\frac{96\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^8\right)}{1-\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow S_8=\frac{96\left(1-\frac{1}{256}\right)}{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow S_8=2.96\left(\frac{256}{256}-\frac{1}{256}\right)$

$\Leftrightarrow S_8=192\left(\frac{255}{256}\right)$

$\Leftrightarrow S_8=\frac{3\left(255\right)}{4}$

$\Leftrightarrow S_8=\frac{765}{4}$

$\Leftrightarrow S_8=191\frac{1}{4}$

Jadi, jumlah semua suku barisan tersebut adalah $191\frac{1}{4}$.