Bank Soal Matematika SMA Komposisi Transformasi

Diketahui:

Lingkaran $L$ berpusat di titik $\left(3,-1\right)$ dan melalui titik $\left(1,4\right)$

Lingkaran $L$ digeser ke kanan sejauh 3 satuan kemudian diputar $90\degree$ terhadap titik $\left(0,0\right)$ searah jarum jam

Ditanya:

Persamaan lingkaran $L'$=?

Jawab:

Untuk titik pusat $\left(3,-1\right)$

Diketahui lingkaran digeser ke kanan sejauh 3 satuan, maka

Selanjutnya diputar $90\degree$ terhadap titik $\left(0,0\right)$ searah jarum jam, maka

Untuk titik $\left(1,4\right)$

Diketahui lingkaran digeser ke kanan sejauh 3 satuan, maka

Selanjutnya diputar $90\degree$ terhadap titik $\left(0,0\right)$ searah jarum jam, maka

Mencari persamaan lingkaran

Untuk membentuk persamaan lingkaran perlu diketahui titik pusat dan jari-jarinya. Pada persoalan di atas, perlu dicari jari-jari lingkaran terlebih dahulu.

Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui titik pusat $\left(a,b\right)$ dan salah satu titik $\left(x,y\right)$ yang dilalui lingkaran sama dengan mencari jarak dari titik pusat ke titik tersebut.

$r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$

Hasil transformasi adalah titik pusat $\left(-1,6\right)$ dan salah satu titik $\left(4,-4\right)$.

Dengan demikian $a=-1,b=6,x=4,y=-4$

$r=\sqrt{\left(4-\left(-1\right)\right)^2+\left(-4-6\right)^2}$

$r=\sqrt{5^2+\left(-10\right)^2}$

$r=\sqrt{25+100}$

$r=\sqrt{125}$

Persamaan umum lingkaran dengan titik pusat $\left(a,b\right)$ dan jari-jari $r$ adalah

$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2$

Dengan demikian,

$\left(x-\left(-1\right)\right)^2+\left(y-6\right)^2=\left(\sqrt{125}\right)^2$

$\left(x+1\right)^2+\left(y-6\right)^2=125$

$x^2+2x+1+y^2-12y+36=125$

$x^2+y^2+2x-12y-88=0$

Jadi, persamaan lingkaran $L'$ adalah $x^2+y^2+2x-12y-88=0$ .