Bank Soal Matematika SMA Fungsi Trigonometri dan Bilangan Real

Perlu diingat identitas-identitas pada trigonometri berikut:

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\operatorname{cosec}\theta=\frac{1}{\sin\theta}$

$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

Berdasarkan identitas-identitas pada trigonometri di atas diperoleh:

$\frac{\operatorname{cosec}\beta}{\sec\beta\cdot\tan\beta+\operatorname{cosec}\beta}=\frac{\frac{1}{\sin\beta}}{\frac{1}{\cos\beta}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}+\frac{1}{\sin\beta}}$

$=\frac{\frac{1}{\sin\beta}}{\frac{\sin\beta}{\cos^2\beta}+\frac{1}{\sin\beta}}$; operasikan bagian penyebut dengan $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ dan diperoleh:

$=\frac{\frac{1}{\sin\beta}}{\frac{\sin^2\beta+\cos^2\beta}{\cos^2\beta\ \sin\beta}}$

$=\frac{\frac{1}{\sin\beta}}{\frac{1}{\cos^2\beta\ \sin\beta}}$

$=\frac{1}{\sin\beta}\cdot\frac{\cos^2\beta\ \sin\beta}{1}$

$=\cos^2\beta$

Jadi, nilai dari $\frac{\operatorname{cosec}\beta}{\sec\beta\cdot\tan\beta+\operatorname{cosec}\beta}$ adalah $\cos^2\beta$.