Bank Soal Matematika SMA Konsep dan Operasi Suku Banyak

Diketahui:

$\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3}$

Ditanya:

$a-b=?$

Jawab:

Misalkan ada dua suku banyak,

$f\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

$g\left(x\right)=b_nx^n+b_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+...+b_2x^2+b_1x+b_0$

jika diketahui $f\left(x\right)\equiv g\left(x\right)$ maka dapat diperoleh kesimpulan suatu kesamaan dari suku banyak tersebut. Kesamaan yang diperoleh merupakan kesamaan dengan variabel yang sama. Sehingga,

$a_n=b_n;\ a_{\left(n-1\right)}=b_{\left(n-1\right)};\ ...\ ;\ \ a_2=b_2;\ a_1=b_1;\ a_0=b_0$

Untuk menemukan nilai $a\$dan $b$, kita perlu menyamakan penyebut kedua ruas terlebih dahulu:

$\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-3}$

$\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{a\left(x-3\right)+b\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$

$\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{ax-3a+bx-b}{x^2-4x+3}$

Kumpulkan suku yang memiliki variabel:

$\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{ax+bx-3a-b}{x^2-4x+3}$

$\Leftrightarrow\frac{2x-3}{x^2-4x+3}\equiv\frac{\left(a+b\right)x-\left(3a+b\right)}{x^2-4x+3}$

Berdasarkan sifat kesamaan suku banyak, diperoleh persamaan-persamaan berikut.

$a+b=2$ ... (1)

$3a+b=3$ ...(2)

Elimininasi $b$ dari persamaan (1) dan (2)

Substitusikan $a=\frac{1}{2}$ ke salah satu persamaan.

$a+b=2$

$\Leftrightarrow\ \left(\frac{1}{2}\right)+b=2$

$\Leftrightarrow\ b=2-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow\ b=\frac{4-1}{2}$

$\Leftrightarrow\ b=\frac{3}{2}$

Substitusikan $a=\frac{1}{2}$ dan $b=\frac{3}{2}$.

$a-b=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$

$a-b=-\frac{1}{2}$

Jadi, nilai dari $a-b$ adalah $-\frac{1}{2}.$