Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $h\left(x\right)=\cos2x+20$ dengan $0\degree\le x\le360\degree$.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, titik balik maksimum fungsi $h$ ?

Jawab:

Misalkan fungsi $f\left(x\right)$ kontinu dan diferensiabel dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertama $f'\left(x\right)$ dan turunan kedua $f''\left(x\right)$ ada pada interval $I$, serta $f'\left(c\right)=0$ dengan $f\left(c\right)$ nilai stasioner.

1. Jika $f''\left(c\right)<0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
2. Jika $f''\left(c\right)>0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
3. Jika $f''\left(c\right)=0$ maka $f\left(c\right)$ bukan nilai ekstrim maksimum fungsi $f$ dan titik $\left(c,\ f\left(c\right)\right)$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=\cos2x+20$. Diperoleh

$h'\left(x\right)=-2\sin 2x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$h''\left(x\right)=-4\cos2x$

Syarat nilai balik minimum adalah

$h'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\sin 2x=\sin0\degree$

sebab $\sin0\degree=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin 2x=\sin 0\degree$ didapat

$2x=0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=0.180\degree=0\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=1.180\degree=180\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=2.180\degree=360\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$2x=180\degree-0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=90\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=90\degree+0.180\degree=90\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=90\degree+1.180\degree=270\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=90\degree+2.180\degree=450\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}$

Selanjutnya akan ditinjau nilai $h''\left(x\right)$ untuk $x$ yang telah diperoleh sebelumnya.

Perlu diingat untuk sembarang $\cos\left(2\pi+\theta\right)=\cos\theta$. Didapat

$h''\left(0\degree\right)=-4\cos(2.0\degree)=-4\cos0\degree=-4(1)<0$

$h''\left(90\degree\right)=-4\cos(2.90\degree)=-4\cos180\degree=-4(-1)>0$

$h''\left(180\degree\right)=-4\cos(2.180\degree)=-4\cos360\degree=-4(1)<0$

$h''\left(270\degree\right)=-4\cos(2.270\degree)=-4\cos180\degree=-4(-1)>0$

$h''\left(360\degree\right)=-4\cos(2.360\degree)=-4\cos360\degree=-4(1)<0$

Yang diminta soal adalah titik balik maksimum, sehingga dipilih $x=c$ yang memenuhi $h''\left(c\right)<0$

yaitu $x=\left\{0\degree,\ 180\degree\ 360\degree\right\}$

Untuk $x=0\degree$ didapat $h\left(0\degree\right)=\cos(2.0\degree)+20=\cos(0\degree)+20=1+20=21$

Untuk $x=180\degree$ didapat $h\left(180\degree\right)=\cos(2.180\degree)+20=\cos(360\degree)+20=1+20=21$

Untuk $x=360\degree$ didapat $h\left(360\degree\right)=\cos(2.360\degree)+20=\cos(360\degree)+20=1+20=21$

Jadi titik balik maksimum fungsi $h$ adalah $(0\degree,\ 21),\ (180\degree,\ 21)$ dan $(360\degree,\ 21)$