Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Dengan menggunakan uji turunan kedua, fungsi h(x)=cos2x+20h\left(x\right)=\cos2x+20 dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree mempunyai titik balik maksimum ....

A

(90°, 19)(90\degree,\ 19) dan (270°, 19)(270\degree,\ 19)

B

(90°, 21)(90\degree,\ 21) dan (270°, 21)(270\degree,\ 21)

C

(0°, 19), (180°, 19)(0\degree,\ 19),\ (180\degree,\ 19) dan (360°, 19)(360\degree,\ 19)

D

(0°, 21), (180°, 21)(0\degree,\ 21),\ (180\degree,\ 21) dan (360°, 21)(360\degree,\ 21)

E

(0°, 23), (180°, 23)(0\degree,\ 23),\ (180\degree,\ 23) dan (360°, 23)(360\degree,\ 23)

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi h(x)=cos2x+20h\left(x\right)=\cos2x+20 dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, titik balik maksimum fungsi hh ?

Jawab:

Misalkan fungsi f(x)f\left(x\right) kontinu dan diferensiabel dalam interval II yang memuat x=cx=c. Turunan pertama f(x)f'\left(x\right) dan turunan kedua f(x)f''\left(x\right) ada pada interval II, serta f(c)=0f'\left(c\right)=0 dengan f(c)f\left(c\right) nilai stasioner.

  1. Jika f(c)<0f''\left(c\right)<0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik maksimum fungsi ff.
  2. Jika f(c)>0f''\left(c\right)>0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik minimum fungsi ff.
  3. Jika f(c)=0f''\left(c\right)=0 maka f(c)f\left(c\right) bukan nilai ekstrim maksimum fungsi ff dan titik (c, f(c))\left(c,\ f\left(c\right)\right) adalah titik belok kurva fungsi ff.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi h(x)=cos2x+20h\left(x\right)=\cos2x+20. Diperoleh

h(x)=2sin2xh'\left(x\right)=-2\sin 2x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

h(x)=4cos2xh''\left(x\right)=-4\cos2x

Syarat nilai balik minimum adalah

h(x)=0h'\left(x\right)=0

2sin2x=0\Leftrightarrow-2\sin 2x=0

sin2x=0\Leftrightarrow\sin 2x=0

sin2x=sin0°\Leftrightarrow\sin 2x=\sin0\degree

sebab sin0°=0\sin0\degree=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan sin(ax+b)=sinθ\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta adalah ax+b=θ+k.360°ax+b=\theta+k.360\degree atau ax+b=(180°θ)+k.360°ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree sehingga untuk sin2x=sin0°\sin 2x=\sin 0\degree didapat

2x=0°+k.360°2x=0\degree+k.360\degree

x=k.180°\Leftrightarrow x=k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=0.180°=0°x=0.180\degree=0\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=1.180°=180°x=1.180\degree=180\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=2.180°=360°x=2.180\degree=360\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

atau

2x=180°0°+k.360°2x=180\degree-0\degree+k.360\degree

x=90°+k.180°\Leftrightarrow x=90\degree+k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=90°+0.180°=90°x=90\degree+0.180\degree=90\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=90°+1.180°=270°x=90\degree+1.180\degree=270\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=90°+2.180°=450°x=90\degree+2.180\degree=450\degree tidak memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

Artinya semua xx yang memenuhi adalah x={0°, 90°, 180°, 270°, 360°}x=\left\{0\degree,\ 90\degree,\ 180\degree,\ 270\degree,\ 360\degree\right\}

Selanjutnya akan ditinjau nilai h(x)h''\left(x\right) untuk xx yang telah diperoleh sebelumnya.

Perlu diingat untuk sembarang cos(2π+θ)=cosθ\cos\left(2\pi+\theta\right)=\cos\theta. Didapat

h(0°)=4cos(2.0°)=4cos0°=4(1)<0h''\left(0\degree\right)=-4\cos(2.0\degree)=-4\cos0\degree=-4(1)<0

h(90°)=4cos(2.90°)=4cos180°=4(1)>0h''\left(90\degree\right)=-4\cos(2.90\degree)=-4\cos180\degree=-4(-1)>0

h(180°)=4cos(2.180°)=4cos360°=4(1)<0h''\left(180\degree\right)=-4\cos(2.180\degree)=-4\cos360\degree=-4(1)<0

h(270°)=4cos(2.270°)=4cos180°=4(1)>0h''\left(270\degree\right)=-4\cos(2.270\degree)=-4\cos180\degree=-4(-1)>0

h(360°)=4cos(2.360°)=4cos360°=4(1)<0h''\left(360\degree\right)=-4\cos(2.360\degree)=-4\cos360\degree=-4(1)<0

Yang diminta soal adalah titik balik maksimum, sehingga dipilih x=cx=c yang memenuhi h(c)<0h''\left(c\right)<0

yaitu x={0°, 180° 360°}x=\left\{0\degree,\ 180\degree\ 360\degree\right\}

Untuk x=0°x=0\degree didapat h(0°)=cos(2.0°)+20=cos(0°)+20=1+20=21h\left(0\degree\right)=\cos(2.0\degree)+20=\cos(0\degree)+20=1+20=21

Untuk x=180°x=180\degree didapat h(180°)=cos(2.180°)+20=cos(360°)+20=1+20=21h\left(180\degree\right)=\cos(2.180\degree)+20=\cos(360\degree)+20=1+20=21

Untuk x=360°x=360\degree didapat h(360°)=cos(2.360°)+20=cos(360°)+20=1+20=21h\left(360\degree\right)=\cos(2.360\degree)+20=\cos(360\degree)+20=1+20=21

Jadi titik balik maksimum fungsi hh adalah (0°, 21), (180°, 21)(0\degree,\ 21),\ (180\degree,\ 21) dan (360°, 21)(360\degree,\ 21)

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
LOTS Teknik Hitung
Video
29 November 2021
Persamaan Eksponensial
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal