Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Suatu benda memiliki kecepatan $v\left(x\right)=\cos 2x+2$ m/s

Ditanya:

Kecepatan minimum benda tersebut?

Jawab:

Mencari kecepatan minimum dapat dilakukan dengan mencari nilai minimum dari fungsi kecepatannya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diketahui fungsi kecepatannya adalah $v\left(x\right)=\cos 2x+2$ sehingga didapat

$v'\left(x\right)=-2\sin 2x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$v''\left(x\right)=-4\cos 2x$

Syarat pertama untuk mencari nilai minimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$v'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow-2\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\sin 2x=\sin 0\degree$

sebab $\sin 0\degree=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta$ adalah $ax+b=\theta+k.360\degree$ atau $ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree$ sehingga untuk $\sin 2x=\sin 0\degree$ didapat

$2x=0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=0.180\degree=0\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=1.180\degree=180\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=2.180\degree=360\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

atau

$2x=180\degree-0\degree+k.360\degree$

$\Leftrightarrow x=90\degree+k.180\degree$

untuk $k=0$ maka $x=90\degree+0.180\degree=90\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=1$ maka $x=90\degree+1.180\degree=270\degree$ memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

untuk $k=2$ maka $x=90\degree+2.180\degree=450\degree$ tidak memenuhi $0\degree\le x\le360\degree$

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap $x$ yang diperoleh

$v''\left(0\degree\right)=-4\cos (2.0\degree)=-4\cos (0\degree)=-4<0$ (maksimum)

$v''\left(90\degree\right)=-4\cos (2.90\degree)=-4\cos (180\degree)=4>0$ (minimum)

$v''\left(180\degree\right)=-4\cos (2.180\degree)=-4\cos (360\degree)=-4<0$ (maksimum)

$v''\left(270\degree\right)=-4\cos (2.270\degree)=-4\cos (180\degree)=4>0$ (minimum)

$v''\left(360\degree\right)=-4\cos (2.360\degree)=-4\cos (360\degree)=-4<0$ (maksimum)

Artinya $v\left(90\degree\right)=\cos (2.90\degree)+2=\cos (180\degree)+2=-1+2=1$ adalah nilai minimum fungsi kecepatan kecepatan $v\left(x\right)=\cos 2x+2$. Jadi kecepatan minimumnya adalah 1 m/s