Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Diberikan fungsi f(x)=3cos(2x60°)f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree). Nilai minimum fungsi f(x)f\left(x\right) untuk 0°x360°0\degree\le x\le360\degree ada sebanyak ....

A

11

B

22

C

33

D

44

E

55

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi f(x)=3cos(2x60°)f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree) dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

Ditanya:

Banyak nilai minimum fungsi f(x)f\left(x\right) ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi f(x)f\left(x\right) dan titik x=ax=a berlaku

  1. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)>0f''\left(a\right)>0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai minimum
  2. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)<0f''\left(a\right)<0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai maksimum
  3. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)=0f''\left(a\right)=0 maka f(a)f\left(a\right) bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sin(ax±b)y=\sin (ax\pm b) turunannya adalah y=acos(ax±b)y'=a\cos (ax\pm b)

Untuk fungsi y=cos(ax±b)y=\cos (ax\pm b) turunannya adalah y=asin(ax±b)y'=-a\sin (ax\pm b)

Pada soal diketahui fungsi f(x)=3cos(2x60°)f\left(x\right)=3\cos(2x-60\degree) dengan 0°x360°0\degree\le x\le360\degree.

Diperoleh

f(x)=2.3sin(2x60°)=6sin(2x60°)f'\left(x\right)=-2.3\sin (2x-60\degree)=-6\sin (2x-60\degree)

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

f(x)=2.6cos(2x60°)=12cos(2x60°)f''\left(x\right)=-2.6\cos (2x-60\degree)=-12\cos (2x-60\degree)

Syarat pertama untuk mencari nilai minimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

f(x)=0f'\left(x\right)=0

6sin(2x60°)=0\Leftrightarrow-6\sin (2x-60\degree)=0

sin(2x60°)=0\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=0

sin(2x60°)=sin0°\Leftrightarrow\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree

sebab sin0°=0\sin0\degree=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan sin(ax+b)=sinθ\sin\left(ax+b\right)=\sin\theta adalah ax+b=θ+k.360°ax+b=\theta+k.360\degree atau ax+b=(180°θ)+k.360°ax+b=\left(180\degree-\theta\right)+k.360\degree sehingga untuk sin(2x60°)=sin0°\sin (2x-60\degree)=\sin0\degree didapat

2x60°=0°+k.360°2x-60\degree=0\degree+k.360\degree

2x=60°+k.360°\Leftrightarrow2x=60\degree+k.360\degree

x=30°+k.180°\Leftrightarrow x=30\degree+k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=30°+0.180°x=30°x=30\degree+0.180\degree\Leftrightarrow x=30\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=30°+1.180°x=210°x=30\degree+1.180\degree\Leftrightarrow x=210\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=30°+2.180°x=390°x=30\degree+2.180\degree\Leftrightarrow x=390\degree tidak memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

atau

2x60°=180°0°+k.360°2x-60\degree=180\degree-0\degree+k.360\degree

2x60°=180°+k.360°\Leftrightarrow2x-60\degree=180\degree+k.360\degree

2x=240°+k.360°\Leftrightarrow2x=240\degree+k.360\degree

x=120°+k.180°\Leftrightarrow x=120\degree+k.180\degree

untuk k=0k=0 maka x=120°+0.180°=120°x=120\degree+0.180\degree=120\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=1k=1 maka x=120°+1.180°=300°x=120\degree+1.180\degree=300\degree memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

untuk k=2k=2 maka x=120°+2.180°=480°x=120\degree+2.180\degree=480\degree tidak memenuhi 0°x360°0\degree\le x\le360\degree

Artinya semua xx yang memenuhi adalah x={30°,120°,210°,300°}x=\left\{30\degree, 120\degree, 210\degree, 300\degree\right\}

Perlu diingat bahwa nilai dari sin(2kπ+θ)=sinθ\sin\left(2k\pi+\theta\right)=\sin\theta

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap xx yang diperoleh

f(30°)=12cos(2.30°60°)=12cos(0°)=12.1<0f''\left(30\degree\right)=-12\cos (2.30\degree-60\degree)=-12\cos (0\degree)=-12.1<0 (maksimum)

f(120°)=12cos(2.120°60°)=12cos(180°)=12.(1)>0f''\left(120\degree\right)=-12\cos (2.120\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0 (minimum)

f(210°)=12cos(2.210°60°)=12cos(360°)=12.1<0f''\left(210\degree\right)=-12\cos (2.210\degree-60\degree)=-12\cos (360\degree)=-12.1<0 (maksimum)

f(300°)=12cos(2.300°60°)=12cos(180°)=12.(1)>0f''\left(300\degree\right)=-12\cos (2.300\degree-60\degree)=-12\cos (180\degree)=-12.(-1)>0 (minimum)

Yang diminta soal adalah banyaknya nilai mininum fungsi f(x)f\left(x\right). Tanpa dihitung nilainya sudah dapat disimpulkan bahwa banyaknya nilai maksimum fungsi f(x)f(x) ada 2.

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 3
Matematika Peminatan LOTS Teknik Hitung
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XII
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal