Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Diketahui fungsi f(x)=sinx+8cosxf\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi. Dengan menggunakan uji turunan kedua, nilai balik minimum fungsi ff adalah ....

A

13\frac{1}{3}

B

13-\frac{1}{3}

C

33

D

3-3

E

3\sqrt{3}

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi f(x)=sinx+8cosxf\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, nilai balik minimum fungsi ff ?

Jawab:

Misalkan fungsi f(x)f\left(x\right) kontinu dan diferensiabel dalam interval II yang memuat x=cx=c. Turunan pertama f(x)f'\left(x\right) dan turunan kedua f(x)f''\left(x\right) ada pada interval II, serta f(c)=0f'\left(c\right)=0 dengan f(c)f\left(c\right) nilai stasioner.

  1. Jika f(c)<0f''\left(c\right)<0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik maksimum fungsi ff.
  2. Jika f(c)>0f''\left(c\right)>0 maka f(c)f\left(c\right) adalah nilai balik minimum fungsi ff.
  3. Jika f(c)=0f''\left(c\right)=0 maka f(c)f\left(c\right) bukan nilai ekstrim maksimum fungsi ff dan titik (c, f(c))\left(c,\ f\left(c\right)\right) adalah titik belok kurva fungsi ff.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi f(x)=sinx+8cosxf\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x. Diperoleh

f(x)=cosx8sinxf'\left(x\right)=\cos x-\sqrt{8}\sin x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

f(x)=sinx8cosxf''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x

Syarat nilai balik minimum adalah

f(x)=0f'\left(x\right)=0

cosx8sinx=0\Leftrightarrow\cos x-\sqrt{8}\sin x=0

cosx=8sinx\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{8}\sin x

18=sinxcosx\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{\sin x}{\cos x}

18=tanx\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{8}}=\tan x

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai sinθ, cosθ,\sin\theta,\ \cos\theta, dan tanθ\tan\theta yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh tanx=18\tan x=\frac{1}{\sqrt{8}} (positif) artinya xx berada di kuadran I atau III.

Perlu diingat bahwa nilai sinθ, cosθ,\sin\theta,\ \cos\theta, dan tanθ\tan\theta dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh tanx=18\tan x=\frac{1}{\sqrt{8}}, dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh sinx=13\sin x=\frac{1}{3} dan cosx=83\cos x=\frac{\sqrt{8}}{3} sehingga

f(x)=sinx8cosxf''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x

f(x)=(13)8(83)\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(\frac{1}{3}\right)-\sqrt{8}\left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right)

f(x)=1383\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}

f(x)=93\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{9}{3}

f(x)=3\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-3

Karena f(x)=3<0f''\left(x\right)=-3<0 maka f(x)f\left(x\right) merupakan nilai balik maksimum. Tidak perlu dicari sebab yang diminta soal adalah nilai balik minimum.

Untuk kuadran III diperoleh sinx=13\sin x=-\frac{1}{3} dan cosx=83\cos x=-\frac{\sqrt{8}}{3} sehingga

f(x)=sinx8cosxf''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x

f(x)=(13)8(83)\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(-\frac{1}{3}\right)-\sqrt{8}\left(-\frac{\sqrt{8}}{3}\right)

f(x)=13+83\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}

f(x)=93\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{9}{3}

f(x)=3\Leftrightarrow f''\left(x\right)=3

Karena f(x)=3>0f''\left(x\right)=3>0 maka f(x)f\left(x\right) merupakan nilai balik minimum, yaitu

f(x)=sinx+8cosxf\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x

f(x)=13+8(83)\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}+\sqrt{8}\left(-\frac{\sqrt{8}}{3}\right)

f(x)=1383\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}

f(x)=93\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{9}{3}

f(x)=3\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal