Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$.

Ditanya:

Dengan menggunakan uji turunan kedua, nilai balik minimum fungsi $f$ ?

Jawab:

Misalkan fungsi $f\left(x\right)$ kontinu dan diferensiabel dalam interval $I$ yang memuat $x=c$. Turunan pertama $f'\left(x\right)$ dan turunan kedua $f''\left(x\right)$ ada pada interval $I$, serta $f'\left(c\right)=0$ dengan $f\left(c\right)$ nilai stasioner.

1. Jika $f''\left(c\right)<0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik maksimum fungsi $f$.
2. Jika $f''\left(c\right)>0$ maka $f\left(c\right)$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$.
3. Jika $f''\left(c\right)=0$ maka $f\left(c\right)$ bukan nilai ekstrim maksimum fungsi $f$ dan titik $\left(c,\ f\left(c\right)\right)$ adalah titik belok kurva fungsi $f$.

Dengan demikian perlu dicari turunan pertama dan turunan keduanya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x$. Diperoleh

$f'\left(x\right)=\cos x-\sqrt{8}\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$f''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x$

Syarat nilai balik minimum adalah

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow\cos x-\sqrt{8}\sin x=0$

$\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{8}\sin x$

$\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{8}}=\tan x$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{1}{\sqrt{8}}$ (positif) artinya $x$ berada di kuadran I atau III.

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{1}{\sqrt{8}}$, dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh $\sin x=\frac{1}{3}$ dan $\cos x=\frac{\sqrt{8}}{3}$ sehingga

$f''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(\frac{1}{3}\right)-\sqrt{8}\left(\frac{\sqrt{8}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-3$

Karena $f''\left(x\right)=-3<0$ maka $f\left(x\right)$ merupakan nilai balik maksimum. Tidak perlu dicari sebab yang diminta soal adalah nilai balik minimum.

Untuk kuadran III diperoleh $\sin x=-\frac{1}{3}$ dan $\cos x=-\frac{\sqrt{8}}{3}$ sehingga

$f''\left(x\right)=-\sin x-\sqrt{8}\cos x$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(-\frac{1}{3}\right)-\sqrt{8}\left(-\frac{\sqrt{8}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=3$

Karena $f''\left(x\right)=3>0$ maka $f\left(x\right)$ merupakan nilai balik minimum, yaitu

$f\left(x\right)=\sin x+\sqrt{8}\cos x$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}+\sqrt{8}\left(-\frac{\sqrt{8}}{3}\right)$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{1}{3}-\frac{8}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3$