Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Fungsi $h\left(x\right)=3\cos x-9$ dengan $0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Fungsi $h\left(x\right)$ cekung ke atas pada interval?

Jawab:

Dimisalkan fungsi $f$ diferensiabel pada interval terbuka $I$

1. Jika $f''\left(x\right)>0$ untuk semua $x\in I$ maka kurva fungsi $f$ cekung ke atas pada interval $I$
2. Jika $f''\left(x\right)<0$ untuk semua $x\in I$ maka kurva fungsi $f$ cekung ke bawah pada interval $I$

Dengan demikian untuk menentukan kecekungan ditentukan terlebih dahulu turunan keduaya.

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=a\cos (ax\pm b)$

Untuk fungsi $y=\cos (ax\pm b)$ turunannya adalah $y'=-a\sin (ax\pm b)$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $h\left(x\right)=3\cos x-9$. Diperoleh

$h'\left(x\right)=-3\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$h''\left(x\right)=-3\cos x$

Selanjutnya syarat untuk fungsi $h$ cekung ke atas adalah

$h''\left(x\right)>0$

$\Leftrightarrow-3\cos x>0$

$\Leftrightarrow\cos x<0$

$\Leftrightarrow\cos x<\cos\frac{1}{2}\pi$

sebab $\cos\frac{1}{2}\pi=0$

Akan dicari pembuat nol dari pertidaksamaan $\cos x<\cos\frac{1}{2}\pi$ dengan memisalkan tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan. Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta$ adalah $ax+b=\theta+2k\pi$ atau $ax+b=-\theta+2k\pi$ sehingga untuk $\cos x=\cos\frac{1}{2}\pi$ didapat

$x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=\frac{1}{2}\pi+2.0.\pi=\frac{1}{2}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=\frac{1}{2}\pi+2.1.\pi=\frac{1}{2}\pi+2\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

atau

$x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi$

untuk $k=0$ diperoleh $x=-\frac{1}{2}\pi+2.0.\pi=-\frac{1}{2}\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ diperoleh $x=-\frac{1}{2}\pi+2.1.\pi=\frac{3}{2}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

Artinya semua $x$ yang memenuhi adalah $x=\left\{\frac{1}{2}\pi,\ \frac{3}{2}\pi\right\}$

Selanjutnya akan ditinjau nilai $\cos x$ untuk setiap interval yang terbentuk.

Untuk subinterval $0\le x<\frac{1}{2}\pi$ dipilih $x=\frac{1}{3}\pi$ didapat

$\cos\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{2}$ (positif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Mengingat pertidaksamaan $\cos x<0$ (yang diperoleh sebelumnya) dipilih yang bernilai negatif. Jadi interval agar fungsi $h\left(x\right)=3\cos x-9$ dengan $0\le x\le2\pi$ cekung ke atas adalah $\frac{1}{2}\pi<x<\frac{3}{2}\pi$