Bank Soal Matematika Peminatan SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilihan Ganda

Nilai balik maksimum dari fungsi g(x)=sin2x+5g\left(x\right)=\sin 2x+5 dengan 0x2π0\le x\le2\pi adalah ....

A

y=4y=4

B

y=5y=5

C

y=515y=5\frac{1}{5}

D

y=6y=6

E

y=612y=6\frac{1}{2}

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi g(x)=sin2x+5g\left(x\right)=\sin 2x+5 dengan 0x2π0\le x\le2\pi

Ditanya:

Nilai balik maksimum dari fungsi g(x)g(x) ?

Jawab:

Secara umum nilai stasioner adalah nilai f(x)f\left(x\right) ketika f(x)=0f'\left(x\right)=0. Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk f(x)f'\left(x\right).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sin(ax±b)y=\sin (ax\pm b) turunannya adalah y=acos(ax±b)y'=a\cos (ax\pm b)

Untuk fungsi y=ay=a dengan aa suatu konstanta turunannya adalah y=0y'=0

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Pada soal diketahui fungsi g(x)=sin2x+5g\left(x\right)=\sin2x+5. Diperoleh

g(x)=2cos2xg'\left(x\right)=2\cos2x

dengan pembuat nol

g(x)=0g'\left(x\right)=0

2cos2x=0\Leftrightarrow2\cos2x=0

cos2x=0\Leftrightarrow\cos2x=0

cos2x=cos12π\Leftrightarrow\cos2x=\cos\frac{1}{2}\pi

sebab cos12π=0\cos\frac{1}{2}\pi=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan cos(ax+b)=cosθ\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta adalah ax+b=θ+2kπax+b=\theta+2k\pi atau ax+b=θ+2kπax+b=-\theta+2k\pi sehingga untuk cos2x=cos12π\cos2x=\cos\frac{1}{2}\pi didapat

2x=12π+2kπ2x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi

x=14π+kπ\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\pi+k\pi

untuk k=0k=0 diperoleh x=14π+0.π=14πx=\frac{1}{4}\pi+0.\pi=\frac{1}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 diperoleh x=14π+1.π=54πx=\frac{1}{4}\pi+1.\pi=\frac{5}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

atau

2x=12π+2kπ2x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi

x=14π+kπ\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\pi+k\pi

untuk k=0k=0 diperoleh x=14π+0.π=14πx=-\frac{1}{4}\pi+0.\pi=-\frac{1}{4}\pi tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 diperoleh x=14π+1.π=34πx=-\frac{1}{4}\pi+1.\pi=\frac{3}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=2k=2 diperoleh x=14π+2.π=74πx=-\frac{1}{4}\pi+2.\pi=\frac{7}{4}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

Artinya semua xx yang memenuhi adalah x={14π, 54π, 34π, 74π}x=\left\{\frac{1}{4}\pi,\ \frac{5}{4}\pi,\ \frac{3}{4}\pi,\ \frac{7}{4}\pi\right\}

Secara umum ada tiga kondisi untuk nilai stasioner fungsi f(x)f\left(x\right) untuk x=cx=c. Hal ini dapat diperhatikan dari tanda f(x)f'\left(x\right) disekitar x=cx=c.

  1. f(x)f\left(x\right) mempunyai nilai balik maksimum f(c)f\left(c\right) jika f(x)f'\left(x\right) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol.
  2. f(x)f\left(x\right) mempunyai nilai balik minimum f(c)f\left(c\right) jika f(x)f'\left(x\right) berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol.
  3. f(x)f\left(x\right) mempunyai titik belok horizontal pada cc jika f(x)f'\left(x\right) tidak berganti tanda saat melalui nol.

Selanjutnya akan diperhatikan tanda g(x)g'\left(x\right) disekitar x={14π, 54π, 34π, 74π}x=\left\{\frac{1}{4}\pi,\ \frac{5}{4}\pi,\ \frac{3}{4}\pi,\ \frac{7}{4}\pi\right\}.

Untuk subinterval 14πx<34π\frac{1}{4}\pi\le x<\frac{3}{4}\pi dipilih x=12πx=\frac{1}{2}\pi didapat

g(12π)=2cos(212π)=2cosπ=2(1)=2g'\left(\frac{1}{2}\pi\right)=2\cos(2\cdot\frac{1}{2}\pi)=2\cos\pi=2(-1)=-2 (negatif).

Untuk subinterval yang lain dicari dengan cara yang sama, sehingga diperoleh

Yang diminta pada soal adalah nilai balik maksimum, yaitu g(x)g'\left(x\right) berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. Hal tersebut terjadi pada x=14πx=\frac{1}{4}\pi dan x=54πx=\frac{5}{4}\pi. Nilai balik maksimum tersebut adalah

g(14π)=sin2.14π+5g\left(\frac{1}{4}\pi\right)=\sin2.\frac{1}{4}\pi+5

g(14π)=sin12π+5\Leftrightarrow g\left(\frac{1}{4}\pi\right)=\sin\frac{1}{2}\pi+5

g(14π)=1+5\Leftrightarrow g\left(\frac{1}{4}\pi\right)=1+5

g(14π)=6\Leftrightarrow g\left(\frac{1}{4}\pi\right)=6

dan

g(54π)=sin2.54π+5\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sin2.\frac{5}{4}\pi+5

g(54π)=sin52π+5\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sin\frac{5}{2}\pi+5

g(54π)=sin(2π+12π)+5\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sin\left(2\pi+\frac{1}{2}\pi\right)+5 karena sin(2π+θ)=sinθ\sin\left(2\pi+\theta\right)=\sin\theta maka

g(54π)=sin12π+5\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sin\frac{1}{2}\pi+5

g(54π)=1+5\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=1+5

g(54π)=6\Leftrightarrow g\left(\frac{5}{4}\pi\right)=6

K13 Kelas XII Matematika Peminatan Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
LOTS Teknik Hitung
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Rangkuman

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal