Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Lihat Pembahasan

Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$ mempunyai nilai stasioner ....

A

$\frac{1}{3}$ dan $-3$

B

$\frac{1}{3}$ dan $-\frac{1}{3}$

C

$3$ dan $-3$

D

$3$ dan $-\frac{1}{3}$

E

$-3$ dan $-\frac{1}{3}$

Pembahasan:

Diketahui:

Fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Nilai stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$ ?

Jawab:

Secara umum nilai stasioner adalah nilai $f\left(x\right)$ ketika $f'\left(x\right)=0$ . Dengan demikian untuk mencari nilai stasioner terlebih dahulu dicari pembuat nol untuk $f'\left(x\right)$ .

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Pada soal diketahui fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$ . Diperoleh

$f'\left(x\right)=\sqrt{8}\cos x-\sin x$

dengan pembuat nol

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{8}\cos x-\sin x=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{8}\cos x=\sin x$

$\Leftrightarrow\sqrt{8}=\frac{\sin x}{\cos x}$

$\Leftrightarrow\sqrt{8}=\tan x$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\sqrt{8}$ (positif) artinya $x$ berada di kuadran I atau III.

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\sqrt{8}$ , dengan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran I diperoleh $\sin x=\frac{\sqrt{8}}{3}$ dan $\cos x=\frac{1}{3}$ sehingga

$f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\sqrt{8}.\frac{\sqrt{8}}{3}+\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=3$

Untuk kuadran III, diperoleh $\sin x=-\frac{\sqrt{8}}{3}$ dan $\cos x=-\frac{1}{3}$ sehingga

$f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\sqrt{8}.\left(-\frac{\sqrt{8}}{3}\right)+\left(-\frac{1}{3}\right)$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-\frac{9}{3}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=-3$

Jadi, titik stasioner dari fungsi $f\left(x\right)=\sqrt{8}\sin x+\cos x$ adalah $3$ dan $-3$

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS Video