Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Diketahui suatu benda memiliki kecepatan v(x)=5+sinxv\left(x\right)=5+\sin x m/s. Kecepatan maksimum benda tersebut adalah ....

A

51235-\frac{1}{2}\sqrt{3} m/s

B

55 m/s

C

5125\frac{1}{2} m/s

D

66 m/s

E

6+1236+\frac{1}{2}\sqrt{3} m/s

Pembahasan:

Diketahui:

Suatu benda memiliki kecepatan v(x)=5+sinxv\left(x\right)=5+\sin x m/s

Ditanya:

Kecepatan maksimum benda tersebut?

Jawab:

Mencari kecepatan maksimum dapat dilakukan dengan mencari nilai maksimum dari fungsi kecepatannya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi f(x)f\left(x\right) dan titik x=ax=a berlaku

  1. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)>0f''\left(a\right)>0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai minimum
  2. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)<0f''\left(a\right)<0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai maksimum
  3. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)=0f''\left(a\right)=0 maka f(a)f\left(a\right) bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=ay=a dengan aa suatu konstanta turunannya adalah y=0y'=0

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)

Diketahui fungsi kecepatannya adalah v(x)=5+sinxv\left(x\right)=5+\sin x sehingga didapat

v(x)=cosxv'\left(x\right)=\cos x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

v(x)=sinxv''\left(x\right)=-\sin x

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

v(x)=0v'\left(x\right)=0

cosx=0\Leftrightarrow\cos x=0

cosx=cosπ2\Leftrightarrow\cos x=\cos\frac{\pi}{2}

sebab cosπ2=0\cos\frac{\pi}{2}=0

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan cos(ax+b)=cosθ\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta adalah ax+b=θ+2kπax+b=\theta+2k\pi atau ax+b=θ+2kπax+b=-\theta+2k\pi sehingga untuk cosx=cosπ2\cos x=\cos\frac{\pi}{2} didapat

x=π2+2kπx=\frac{\pi}{2}+2k\pi

untuk k=0k=0 maka x=π2+2.0.π=π2x=\frac{\pi}{2}+2.0.\pi=\frac{\pi}{2} memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 maka x=π2+2.1.π=π2+2πx=\frac{\pi}{2}+2.1.\pi=\frac{\pi}{2}+2\pi tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

atau

x=π2+2kπx=-\frac{\pi}{2}+2k\pi

untuk k=0k=0 maka x=π2+2.0.π=π2x=-\frac{\pi}{2}+2.0.\pi=-\frac{\pi}{2} tidak memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

untuk k=1k=1 maka x=π2+2.1.π=32πx=-\frac{\pi}{2}+2.1.\pi=\frac{3}{2}\pi memenuhi 0x2π0\le x\le2\pi

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap xx yang diperoleh

v(π2)=sinπ2=1<0v''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1<0 (maksimum)

Artinya v(π2)=5+sinπ2=5+1=6v\left(\frac{\pi}{2}\right)=5+\sin\frac{\pi}{2}=5+1=6 adalah nilai maksimum fungsi kecepatan kecepatan v(x)=5+sinxv\left(x\right)=5+\sin x. Jadi kecepatan maksimumnya adalah 6 m/s

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 3
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XII
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal