Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Suatu benda memiliki kecepatan $v\left(x\right)=5+\sin x$ m/s

Ditanya:

Kecepatan maksimum benda tersebut?

Jawab:

Mencari kecepatan maksimum dapat dilakukan dengan mencari nilai maksimum dari fungsi kecepatannya.

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=a$ dengan $a$ suatu konstanta turunannya adalah $y'=0$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$

Diketahui fungsi kecepatannya adalah $v\left(x\right)=5+\sin x$ sehingga didapat

$v'\left(x\right)=\cos x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$v''\left(x\right)=-\sin x$

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$v'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow\cos x=0$

$\Leftrightarrow\cos x=\cos\frac{\pi}{2}$

sebab $\cos\frac{\pi}{2}=0$

Perlu diingat bahwa penyelesaian persamaan $\cos\left(ax+b\right)=\cos\theta$ adalah $ax+b=\theta+2k\pi$ atau $ax+b=-\theta+2k\pi$ sehingga untuk $\cos x=\cos\frac{\pi}{2}$ didapat

$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

untuk $k=0$ maka $x=\frac{\pi}{2}+2.0.\pi=\frac{\pi}{2}$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ maka $x=\frac{\pi}{2}+2.1.\pi=\frac{\pi}{2}+2\pi$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

atau

$x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$

untuk $k=0$ maka $x=-\frac{\pi}{2}+2.0.\pi=-\frac{\pi}{2}$ tidak memenuhi $0\le x\le2\pi$

untuk $k=1$ maka $x=-\frac{\pi}{2}+2.1.\pi=\frac{3}{2}\pi$ memenuhi $0\le x\le2\pi$

Selanjutnya, diperhatikan nilai turunan kedua untuk setiap $x$ yang diperoleh

$v''\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1<0$ (maksimum)

Artinya $v\left(\frac{\pi}{2}\right)=5+\sin\frac{\pi}{2}=5+1=6$ adalah nilai maksimum fungsi kecepatan kecepatan $v\left(x\right)=5+\sin x$. Jadi kecepatan maksimumnya adalah 6 m/s