Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Diketahui:

Kurva $f\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$

Ditanya:

Nilai maksimum kurva $f\left(x\right)$ ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi $f\left(x\right)$ dan titik $x=a$ berlaku

1. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)>0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai minimum
2. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)<0$ maka $f\left(a\right)$ merupakan nilai maksimum
3. ketika $f'\left(a\right)=0$ dan $f''\left(a\right)=0$ maka $f\left(a\right)$ bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi $y=\sin x$ turunannya adalah $y'=\cos x$

Untuk fungsi $y=\cos x$ turunannya adalah $y'=-\sin x$

Untuk fungsi $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ turunannya adalah $y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$ 

Pada soal diketahui kurva $f\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ dengan $0\le x\le2\pi$.

Misalkan $f_1\left(x\right)=\sin x$ dan $f_2\left(x\right)=-\sqrt{3}\cos x$ diperoleh

$f_1'\left(x\right)=\cos x$

$f_2'\left(x\right)=-\sqrt{3}\left(-\sin x\right)=\sqrt{3}\sin x$

$f'\left(x\right)=f_1'\left(x\right)+f_2'\left(x\right)=\cos x+\sqrt{3}\sin x$

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

$f_1''\left(x\right)=-\sin x$

$f_2''\left(x\right)=\sqrt{3}\cos x$

$f''\left(x\right)=f_1''\left(x\right)+f_2''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

$f'\left(x\right)=0$

$\Leftrightarrow\cos x+\sqrt{3}\sin x=0$

$\Leftrightarrow\sqrt{3}\sin x=-\cos x$

$\Leftrightarrow\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$ artinya $x$ berada di kuadran II dan IV.

Perlu diingat bahwa nilai $\sin\theta,\ \cos\theta,$ dan $\tan\theta$ dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh $\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}}$, dengan mengabaikan tanda negatif, dan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran II diperoleh $\sin x=\frac{1}{2}$ dan $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ sehingga

$f''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-2<0$ (maksimum)

Artinya nilai maksimum kurva $f\left(x\right)$ adalah

$f\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}-\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow f\left(x\right)=2$ (nilai maksimum).

Selanjutnya untuk kuadran IV diperoleh $\sin x=-\frac{1}{2}$ dan $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ sehingga

$f''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{4}{2}$

$\Leftrightarrow f''\left(x\right)=2>0$ (minimum)

Karena yang dicari nilai maksimum, maka tidak perlu dihitung nilainya.

Jadi nilai maksimum kurva $f\left(x\right)$ adalah 2