Bank Soal Matematika SMA Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri

Soal

Pilgan

Nilai maksimum dari kurva f(x)=sinx3cosxf\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi adalah ....

A

12\frac{1}{2}

B

123\frac{1}{2}\sqrt{3}

C

3\sqrt{3}

D

22

E

232\sqrt{3}

Pembahasan:

Diketahui:

Kurva f(x)=sinx3cosxf\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi

Ditanya:

Nilai maksimum kurva f(x)f\left(x\right) ?

Jawab:

Perlu diingat untuk sembarang fungsi f(x)f\left(x\right) dan titik x=ax=a berlaku

  1. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)>0f''\left(a\right)>0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai minimum
  2. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)<0f''\left(a\right)<0 maka f(a)f\left(a\right) merupakan nilai maksimum
  3. ketika f(a)=0f'\left(a\right)=0 dan f(a)=0f''\left(a\right)=0 maka f(a)f\left(a\right) bukan nilai ekstrim (minimum maupun maksimum).

Secara umum turunan pertama untuk beberapa fungsi sebagai berikut:

Untuk fungsi y=sinxy=\sin x turunannya adalah y=cosxy'=\cos x

Untuk fungsi y=cosxy=\cos x turunannya adalah y=sinxy'=-\sin x

Untuk fungsi y=f(x)+g(x)y=f\left(x\right)+g\left(x\right) turunannya adalah y=f(x)+g(x)y'=f'\left(x\right)+g'\left(x\right) 

Pada soal diketahui kurva f(x)=sinx3cosxf\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x dengan 0x2π0\le x\le2\pi.

Misalkan f1(x)=sinxf_1\left(x\right)=\sin x dan f2(x)=3cosxf_2\left(x\right)=-\sqrt{3}\cos x diperoleh

f1(x)=cosxf_1'\left(x\right)=\cos x

f2(x)=3(sinx)=3sinxf_2'\left(x\right)=-\sqrt{3}\left(-\sin x\right)=\sqrt{3}\sin x

f(x)=f1(x)+f2(x)=cosx+3sinxf'\left(x\right)=f_1'\left(x\right)+f_2'\left(x\right)=\cos x+\sqrt{3}\sin x

Perlu diingat bahwa turunan kedua suatu fungsi diperoleh dengan mencari turunan pertama dari turunan pertama fungsi tersebut. Diperoleh

f1(x)=sinxf_1''\left(x\right)=-\sin x

f2(x)=3cosxf_2''\left(x\right)=\sqrt{3}\cos x

f(x)=f1(x)+f2(x)=sinx+3cosxf''\left(x\right)=f_1''\left(x\right)+f_2''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x

Syarat pertama untuk mencari nilai maksimum suatu fungsi adalah dengan mencari pembuat nol turunan pertamanya. Didapat

f(x)=0f'\left(x\right)=0

cosx+3sinx=0\Leftrightarrow\cos x+\sqrt{3}\sin x=0

3sinx=cosx\Leftrightarrow\sqrt{3}\sin x=-\cos x

sinxcosx=13\Leftrightarrow\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-1}{\sqrt{3}}

tanx=13\Leftrightarrow\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}}

Perlu diingat pembagian kuadran sebagai berikut:

dan nilai sinθ, cosθ,\sin\theta,\ \cos\theta, dan tanθ\tan\theta yang positif pada setiap kuadran adalah

Sebelumnya telah diperoleh tanx=13\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}} artinya xx berada di kuadran II dan IV.

Perlu diingat bahwa nilai sinθ, cosθ,\sin\theta,\ \cos\theta, dan tanθ\tan\theta dapat dinyatakan dalam segitiga siku-siku, yaitu

Sebelumnya telah diperoleh tanx=13\tan x=\frac{-1}{\sqrt{3}}, dengan mengabaikan tanda negatif, dan menggunakan Teorema Pythagoras diperoleh

Dengan mengingat nilai positif atau negatif untuk setiap kuadran. Untuk kuadran II diperoleh sinx=12\sin x=\frac{1}{2} dan cosx=32\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} sehingga

f(x)=sinx+3cosxf''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x

f(x)=12+3(32)\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

f(x)=1232\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}

f(x)=42\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\frac{4}{2}

f(x)=2<0\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-2<0 (maksimum)

Artinya nilai maksimum kurva f(x)f\left(x\right) adalah

f(x)=sinx3cosxf\left(x\right)=\sin x-\sqrt{3}\cos x

f(x)=123(32)\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}-\sqrt{3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

f(x)=12+32\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}

f(x)=42\Leftrightarrow f\left(x\right)=\frac{4}{2}

f(x)=2\Leftrightarrow f\left(x\right)=2 (nilai maksimum).

Selanjutnya untuk kuadran IV diperoleh sinx=12\sin x=-\frac{1}{2} dan cosx=32\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} sehingga

f(x)=sinx+3cosxf''\left(x\right)=-\sin x+\sqrt{3}\cos x

f(x)=(12)+3(32)\Leftrightarrow f''\left(x\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

f(x)=12+32\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}

f(x)=42\Leftrightarrow f''\left(x\right)=\frac{4}{2}

f(x)=2>0\Leftrightarrow f''\left(x\right)=2>0 (minimum)

Karena yang dicari nilai maksimum, maka tidak perlu dihitung nilainya.

Jadi nilai maksimum kurva f(x)f\left(x\right) adalah 2

K13 Kelas XII Matematika Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri Skor 2
Matematika Peminatan Teknik Hitung LOTS
Video
19 April 2022
Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri | Matematika Peminatan | Kelas XII
Rangkuman
08 April 2020
Bangun Datar | Matematika | Kelas 4 | Tema 4 Berbagai Pekerjaan | Subtema 1 Jenis-jenis pekerjaan...

Siswa

Ingin latihan soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Guru

Ingin akses bank soal, nonton, atau unduh materi belajar lebih banyak?

Buat Akun Gratis

Soal Populer Hari Ini

Cek Contoh Kuis Online

Kejar Kuis

Cek Contoh Bank Soal

Kejar Soal